Ecuaciones con números complejos

Question

Podría alguien ayudarme a resolver dos ecuaciones con números complejos? Me gustaría saber si hay una manera de resolverlos evitar la costumbre de sustitución de $z=a+ib$ debido a que los cálculos no son muy fáciles de

$1)$$z^3\bar{z}+3z^2-4=0$

He intentado de esta manera

$z^2(z\bar{z}+3)=4$

$z^2(|z^2|+3)=4$

Pero estoy atascado en este punto

$2)$$ \begin{cases} |z^2+1|=1 \\ 2Re(z)=|z^2| \end{cases}$

Aquí traté de sustituir $\omega=z^2$ pero no funciona

Gracias por los consejos

Answer 1

1) Su ecuación de $z^2(z\bar{z}+3)=4$ nos lleva cerca de la final. Deje $|z^2|=c$, y tomar la norma de ambos lados. A continuación,$c(c+3)=4$, dando $c=1$.

2) Este es un poco más complicada. No es la solución obvia $z=0$. Esperamos que no sea cero soluciones. La expansión de la primera ecuación nos dice que $$z^2\bar{z}^2+(z^2+\bar{z}^2)=0.$$ De la segunda ecuación, $z^2\bar{z}^2=4(\text{Re}(z))^2$. Dejando $z=re^{i\theta}$ y la cancelación de la $r$ tenemos $$4\cos^2\theta+2\cos(2\theta)=0.$$ El resto es sencillo. El uso de $\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1$.

Answer 2

En realidad, lo que han hecho es bastante inteligente/la suerte de que usted sabe $(|z^2| + 3)$ es real lo $z^2(|z^2| + 3) = 4$ $z^2$ es real. Por lo $z^2 = \pm |z^2|$. Set $w = z^2$ y tiene:

$w \ge 0; w^2 + 3w - 4 = 0 \implies (x + 4)(x - 1) \implies w = 1 \implies z = \pm 1$

$w < 0; w^2 - 3w - 4 = 0 \implies (x - 4)(x + 1) \implies w = -1 \implies z = \pm i$

Por lo $z = \pm i, \pm 1$.