¿Por qué $\lim_{k\to\infty} \sqrt[k] {\big | \frac{k^{1/k}-1}{2^k}\big |} = 1/2$?

Question

$$\lim_{k\to\infty} \sqrt[k] {\left | \frac{k^{1/k}-1}{2^k}\right |} = \frac12$$ de acuerdo a una solución que tengo, pero me da que el limite sea igual a cero.

¿Cómo es que va a $\frac12$?

Answer 1

Vamos

$$ a_k=\frac{k^{\frac1k}-1}{2^k}$$

así

$$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{(k+1)^{\frac1{k+1}}-1}{2^{k+1}}\frac{2^k}{k^{\frac1k}-1}=\frac12\frac{(k+1)^{\frac1{k+1}}-1}{k^{\frac1k}-1}\to \frac12\cdot 1=\frac12$$

de hecho

$$k^{\frac1k}-1=e^{\frac{\ln k}{k}}-1=\frac{\ln k}{k}+o\left(\frac{\ln k}{k}\right)$$

$${(k+1)}^{\frac1{k+1}}-1=e^{\frac{\ln (k+1)}{k+1}}-1=\frac{\ln (k+1)}{k+1}+o\left(\frac{\ln k}{k}\right)$$

$$\frac{(k+1)^{\frac1{k+1}}-1}{k^{\frac1k}-1}=\frac{\frac{\ln (k+1)}{k+1}+o\left(\frac{\ln k}{k}\right)}{\frac{\ln k}{k}+o\left(\frac{\ln k}{k}\right)}=\frac{\frac{k}{\ln k}\frac{\ln (k+1)}{k+1}+o\left(1\right)}{1+o\left(1\right)}\to 1$$

por lo tanto

$$\frac{a_{k+1}}{a_k}\to \frac12 \implies \sqrt[k] {a_k}\to \frac12$$

Answer 2

Desde $$ 1+x\le e^x\le\overbrace{1+\frac{x}{1-x}}^{\large\frac1{1-x}} $$ y $k^{1/k}=e^{\log(k)/k}$, tenemos $$ \frac{\log(k)}k\le k^{1/k}-1\le\frac{\log(k)}{k-\log(k)} $$ Por lo tanto, $$ \frac12\left(\frac{\log(k)}k\right)^{1/k}\le\left(\frac{k^{1/k}-1}{2^k}\right)^{1/k}\le\frac12\left(\frac{\log(k)}{k-\log(k)}\right)^{1/k} $$ Para $x\ge e$, $\frac1x\le\frac{\log(x)}x\le\frac1e$; por lo tanto, $$ \frac12\left(\frac1k\right)^{1/k}\le\left(\frac{k^{1/k}-1}{2^k}\right)^{1/k}\le\frac12\left(\frac1{e-1}\right)^{1/k} $$ Por lo tanto, por el Teorema del encaje, $$ \lim_{k\to\infty}\left(\frac{k^{1/k}-1}{2^k}\right)^{1/k}=\frac12 $$

Answer 3

escribir $$e^{\lim_{k\to \infty}\frac{\ln(k^{1/k}-1)}{k}}$$ y el uso de L'Hospital

Answer 4

Tenemos

$$\sqrt[k]{\frac{\sqrt[k]{k}-1}{2^k}} = \left(\frac{\sqrt[k]{k}-1}{2^k}\right)^{1/k} = \frac{\sqrt[k]{\sqrt[k]{k} - 1}}{2}$$

Ahora note que $\lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{\sqrt[k]{k} - 1} = 1$.

De hecho, $\sqrt[k]{\sqrt[k]{k}} = k^{1/k^2} \xrightarrow{k\to\infty} 1$ porque:

$$k^{1/k^2}\cdot k^{1/k^2} = (k^2)^{1/k^2} \xrightarrow{k\to\infty} 1 \implies \lim_{k\to\infty} k^{1/k^2} = 1$$

Ahora, usando el teorema del encaje, se obtiene:

$$1 \xleftarrow{k\to\infty}\sqrt[k]{\frac12}\cdot\sqrt[k]{\sqrt[k]{k}} = \sqrt[k]{\frac12\sqrt[k]{k} } \le \sqrt[k]{\sqrt[k]{k} - 1} \le \sqrt[k]{\sqrt[k]{k}} \xrightarrow{n\to\infty} 1$$

Por lo $\lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{\sqrt[k]{k} - 1} = 1$.

Por lo tanto,

$$\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{\frac{\sqrt[k]{k}-1}{2^k}} = \frac{\sqrt[k]{\sqrt[k]{k} - 1}}{2} = \frac12$$

Answer 5

Tenga en cuenta que

$$k^{\frac1k}-1=e^{\frac{\ln k}{k}}-1=\frac{\ln k}{k}+o\left(\frac{\ln k}{k}\right)$$ y $$\left(k^{\frac1k}-1\right)^{\frac1k}=\left(\frac{\ln k}{k}+o\left(\frac{\ln k}{k}\right)\right)^{\frac1k}=e^\frac{{\ln\left({\frac{\ln k}{k}+o\left(\frac{\ln k}{k}\right)}\right)}}{k}=e^{\frac{1}{\ln k}\frac{\ln k}{k}\ln\left({\frac{\ln k}{k}+o\left(\frac{\ln k}{k}\right)}\right)}\to e^0=1$$

así

$$\sqrt[k] {\left| \frac{k^{1/k}-1}{2^k}\right|}=\frac{\sqrt[k] {\left| k^{1/k}-1\right|}}{2}\to\frac12$$