Mercator frente a las proyecciones cilíndricas

Question

Si no me equivoco, la proyección de Mercator se caracteriza por estas dos propiedades:

(1) es de conformación, y

(2) los mapas de curvas de constante influencia en la esfera de las rectas en el plano. I. e. $\theta$ grados de este a norte corresponde a una cierta pendiente en el mapa, independientemente del lugar del planeta donde usted está.

En "Una Aplicación de la Geografía a las Matemáticas: Historia de la Integral de la Secante", por V. Frederick Rickey y Philip M. Tuchinsky, las Matemáticas de la Revista, v. 53, Nº 3, Mayo de 1980, pp 162-166, nos encontramos con esto, dentro de la cita es de Edward Wright, quien escribió en torno al año 1600):

"Considere la posibilidad de un cilindro tangente a la del ecuador de la tierra y el imaginar a la tierra para 'swal [hinchan] como una vejiga.' A continuación, identificar los puntos de la tierra con los puntos sobre el cilindro que entran en contacto con. Finalmente, desenrolle el cilindro; será un mapa de Mercator. Este modelo ha sido a menudo mal interpretado como la proyección cilíndrica (cuando una fuente de luz en el centro de la tierra los proyectos de la unswollen esfera en su tangente cilindro), pero esta proyección no es de conformación."

La descripción de "hinchazón" no me parece que corresponden a la proyección cilíndrica. ¿Cuál es la diferencia? ¿Cómo funciona "la inflamación de una vejiga" dar un resultado diferente de la dada por la proyección cilíndrica?

(Como sugiere el título, los autores están diciendo un motivo principal para la integración de la función secante es la proyección de Mercator.)

Nota añade después: supongo que las dos condiciones (1) y (2) podría ser considerado como algo más que simplemente expresa diciendo esto: los rodamientos en el mundo de la igualdad de los rodamientos en el mapa, es decir, si el norte en el mundo corresponde a la alza en el mapa y, a continuación, $\theta$ grados de este a norte en el mundo corresponde a $\theta$ grados a la derecha de la recta hacia arriba en el mapa. Si no me equivoco, la proyección de Mercator es la única proyección de que eso es cierto.

Todavía más tarde nota: ahora me doy cuenta de que se especuló en otro foro donde he preguntado acerca de esto, que el cilindro es visto como algo parecido a un material sólido, por lo que la inflamación del globo se aferra a los lados del cilindro, en lugar de pasar a través de él. Me había imaginado un globo esférico de expansión, mientras que conserva su forma esférica, por lo que cada vez más de la esfera está fuera del cilindro. Cada punto de la esfera pasa por ("touch") el cilindro de una vez, y de ese punto en el cilindro sería la imagen de ese punto de la esfera. Parece del todo claro el modo en que se determine la proyección, y si eso es lo que R & T tenía en mente, o lo que Wright tenía en mente, que no es del todo claro de R & T de papel.

Answer 1

No estoy seguro exactamente lo que significa "se expanda como una vejiga", pero es cierto que la proyección de Mercator es diferente de la central de proyección cilíndrica. La siguiente imagen muestra una sección transversal de la proyección de Mercator, con el círculo que representa la forma esférica de la tierra y las dos líneas verticales que representan el cilindro. Las líneas azules indican la proyección de puntos en el círculo de los puntos sobre el cilindro:

Answer 2

No he visto esta definición de la proyección de Mercator antes, pero tal vez tiene sentido. Supongamos que físicamente lo que se entiende por la vejiga, la idea es que una vez que la vejiga se pone en contacto con el exterior del cilindro, la porción de superficie que toca el cilindro permanece fija; no se deslice alrededor. De modo que la forma que tuvo en el momento antes de que el contacto se conserva.

Entonces podemos ver que la parte restante de la vejiga, la porción libre, debe tomar la forma de una burbuja esférica, debido a que la presión dentro de la vejiga sólo está en equilibrio cuando la piel se estira uniformemente, como sólo una forma esférica puede hacer. Por lo tanto, la porción libre de la vejiga, siendo uniformemente estiran, se debe exactamente a preservar las formas de todas las características físicas que se dibujan en su superficie.

Desde el exterior del cilindro de captura de la forma local de la vejiga en el momento en que hace contacto, el resultado de la proyección conserva las formas en la manera en que Mercator está diseñado para. Por cierto, la limitante del cilindro no necesita ser tangente a la inicial de la esfera. Por supuesto, esto es evidente, porque la vejiga crece como una esfera hasta que se hace el primer contacto.

EDIT: yo realmente no tenía idea de en qué me estaba metiendo con este problema. Creo que es una muy buena matemáticas de la física del problema y a menos que me equivoco es mucho más difícil de lo que yo hubiera pensado. Así que me voy a hacer una simplificación o dos, un par de observaciones y un par de conjeturas.

En primer lugar, la física se convierte en un poco más fácil de visualizar si empezamos por considerar una región, más cerca del Polo Norte. De esa manera estamos comenzando con una hoja plana. Entonces, podemos reemplazar el tubo largo con un simple anillo. La vejiga se infla hasta que haga contacto con el anillo. En ese momento la parte de la escalera dentro del anillo, inicialmente casi una hoja plana, puede ser considerada como fija en su circunferencia, y va a crecer hacia el exterior como una burbuja. En algún momento en el tiempo las paredes de la burbuja en vertical. Ese es el momento cuando se iba a llegar a ser fijado a la pared de la tubería (si el tubo se presente). El problema ahora se convierte simplemente para mostrar que en las cercanías del aro, en el momento en que la vejiga se vuelve vertical, que la deformación local de la vejiga es distortionless.

Esta simplificación cambia el problema en menos de lo que uno pensaría. Si es verdad para cualquier anillo cerca del polo norte, es cierto para todos los anillos, en particular, una serie de anillos apilados uno sobre otro. Así que es cierto para el tubo - al menos en las latitudes del norte. Vamos a poner a un lado por ahora la cuestión de si la física conduce a los mismos resultados en la segunda mitad de latitudes más bajas. (Aunque es casi trivialmente garantizados para ser verdad cerca de la línea del ecuador.)

De vuelta al ring. Consideramos que la vejiga se infla hasta que toque el anillo, y en un tiempo que es lo suficientemente grande en comparación con el anillo que la limitación de la porción es esencialmente una hoja plana. Debe ser bastante claro que el estiramiento es libre de distorsión hasta este punto. Queremos mostrar que a medida que la burbuja se deforma en el ring, no queda libre de distorsión cerca de el anillo hasta el momento, cuando las paredes de la burbuja en vertical. Dado que la hoja se fija lateralmente en el anillo, esto obliga a la aparentemente extraña consecuencia de que el estiramiento longitudinal cerca de el anillo es cero - que una vez que hace contacto, simplemente se inclina hacia arriba sin que se extiende aún más!

Sin embargo, la hoja debe estirar en algún lugar: ¿es la abeja que el estiramiento es de un máximo cerca de la mitad, sino que va a cero en la periferia?

Esto está en contradicción con lo que yo dije en mi primera respuesta en cuanto a cómo sólo una forma esférica puede estar en equilibrio con la presión constante. Parece que me equivoqué. Ahora voy a proponer que, en este caso, la física puede ser satisfecho si la curvatura es localmente esférica todas partes, pero puede cambiar de forma continua. En ese caso, para que la presión de estar en todas partes equilibrada, el producto de la curvatura y la tensión debe ser una constante. Me han sacado de ella una serie de esferas anidadas que creo que se aproxima a la verdadera forma de la vejiga de la expansión en un anillo:

Se puede ver que la curvatura disminuye cerca de la cúpula, lo que significa que la tensión y el estiramiento de la vejiga se encuentra en su mayor cerca del Polo Norte. Cerca del punto de restricción. Esto tiene sentido si nos imaginamos que la vejiga está tratando de acomodar el volumen máximo para la menor cantidad de estiramiento de la energía. En dos dimensiones, la solución es, por supuesto, constante de estiramiento en todas partes, llevando a una circular de perfil. En tres dimensiones, ya que la zona se incrementa hacia el exterior, es más económico que el de la vejiga para estirar un poco más en el medio. (La curva resultante se ve algo así como un cicloides, pero no creo que lo es).

En cualquier caso, el punto interesante es que si este modelo es correcto, el estiramiento es en todas partes distortionless. Así, en el punto en el que la vejiga se pone a sí mismo en el interior de la tubería, las formas se conservan en su forma original.

Hay un punto de dolor restante: no puedo convencerme de que el estiramiento debe ser en todas partes distortionless...que la vejiga está en todas partes localmente esférica. Para un pequeño cuadrado dibujado en cualquier lugar de la vejiga, hay dos curvaturas y los dos tensiones: longitudinales y latitudinales. No está claro para mí por qué estos dos deben ser iguales. La resistencia a la presión es dada por el producto de la tensión y de la curvatura, y me imagino que la presión puede ser equilibrado por el promedio de la longitudinal y latitudinal de la resistencia, sin estas cantidades necesariamente son iguales.