Los valores propios de un $n\times n$ matriz simétrica

Question

Así que un estudiante vino a mí con una pregunta que siguió así:

Dado $\{c_1 , c_2 , c_3, \dots, c_n \}$ son números reales, forman la matriz A cuyas entradas vienen dadas por $a_{ij} = c_i \cdot c_j $ del conjunto de números anterior (es decir, A es simétrico). La pregunta pide que el estudiante escriba explícitamente cada valor propio de la matriz y que razone básicamente por qué hay tantos valores propios, y por qué no puede haber más/menos que eso. Ahora bien, se trata de un curso de pregrado más sencillo de álgebra lineal, el conocimiento que el estudiante tiene a su disposición es un capítulo limitado sobre valores propios y diagonalización de matrices. Pude ayudarles a entender cómo se podía demostrar que el determinante era cero para esta matriz en particular, y mediante el uso de un patrón de $n \times n$ Las matrices suponen que el polinomio característico de la matriz está dado por $$\lambda^{n-1}(\lambda - Tr(A)) = 0 $$ Lo que podría argumentarse a partir del Teorema de Caley-Hamilton. La idea es que el estudiante no sabe esto y estoy en una pérdida de cómo explicar en un nivel más básico de grado. Esencialmente, todos los valores propios menos el último son cero (si la matriz no es sin traza).

Cualquier ayuda será apreciada (Espero que esto no sea una repetición, si es así un puntero a la pregunta original también ayudará)

Answer 1

Si dejas que $x=(c_1,c_2,\ldots,c_n)^T$ entonces $A=xx^T$ . Tenga en cuenta también que $x^T x = c_1^2+\cdots +c_n^2$ .

Ahora $$ Ax=xx^Tx=(c_1^2+\cdots +c_n^2)\,x, $$ así que $x$ es un vector propio con valor propio $c_1^2+\cdots +c_n^2$ .

Si $y\perp x$ entonces $x^T y=0$ y así $Ay=xx^Ty=x0=0$ .

Si se forma una base ortogonal con el primer vector $x$ entonces cada vector de la base es un vector propio de $A$ el primero con valor propio $c_1^2+\cdots +c_n^2$ y el resto con valor propio $0$ . Entonces, como has dicho, el polinomio característico es $$ \lambda^{n-1}(\lambda-\text{Tr}(A)). $$

Answer 2

Una pista: Se puede escribir la matriz $A$ como : $$ A=c^Tc. $$ donde $c=[c_1 \dots c_n]$ .

Answer 3

Esta es una forma de explicar por qué hay $n-1$ vectores propios linealmente independientes con valor propio $0$ .

Obsérvese que el $i$ -la fila número uno es el vector $c_i ( c_1 , c_2 , \dots , c_n )$ . Piensa en el vector $( c_1 , c_2 , \dots , c_n )$ descansando en $n$ -espacio de dimensión. Hay un "plano" de dimensión $n-1$ que es ortogonal a este vector dado por las ecuaciones $c_1 x_1 + c_2 x_2 + \dots + c_n x_n = 0$ . Se trata, pues, de un subespacio vectorial de dimensión $n-1$ y tiene $n-1$ vectores base que son vectores propios linealmente independientes de nuestra matriz original.

Para encontrar el último valor propio, utilice el vector propio $( c_1 , c_2 , \dots c_n )$ , lo que nos da un valor propio $\sum_{i=1}^n c_i^2$ .