¿Qué entendemos por un "Elegante"a Prueba?

Question

¿A qué nos referimos cuando decimos que una prueba matemática es elegante? Por supuesto, uno puede decir que la prueba es hermoso, pero qué es lo que precisamente se quiere decir cuando se dice que una prueba es hermoso ? Hay una manera precisa de medir la elegancia de una prueba matemática ? He pensado en varias posibilidades, pero ninguna de ellas parece encajar correctamente:

• Una prueba de ello es elegante si tiene menos no de pasos cuando nos rompen la prueba en el mayor número de piezas posible, es decir, la prueba consta de sólo los axiomas y el modus ponens.

• Una prueba de ello es elegante si se basan en menos de axiomas, pero esto no puede ser verdad, porque la declaración de la prueba en sí misma puede ser tratada como un axioma.

• Una prueba de ello es elegante si se utiliza más fuerte axiomas (es decir, con más confianza en evidencia que los otros axiomas). Pero supongo que hay algún tipo de vaguedad aquí, ¿cómo podemos determinar si un axioma es más evidente que otras ?

• Una prueba de ello es elegante si utiliza algunos de los resultados o ideas de otra rama de las matemáticas que aparentemente parece no tener ninguna relación con la rama en virtud de la cual la prueba de caídas. Pero eso no es siempre cierto.

• Una prueba de ello es elegante si se utiliza más simples argumentos, aquellos que pueden ser entendidos por cualquier brillantes de matemáticas de la preparatoria del estudiante.

• Personalmente me parece una combinatoria o un número teórico de la prueba más elegante si se utiliza pura aritmética y álgebra en lugar de análisis matemático o cálculo de herramientas. Pero esto puede ser debido a mi interés en esas áreas.

Así que mi pregunta es si existe una medida de la elegancia de una prueba matemática ? La respuesta, según me es más probable que sea negativo. Pero si alguien tiene alguna idea de hacia una respuesta positiva o a cualquier argumento de que la respuesta no puede ser positiva, por favor compartir.

Answer 1

La elegancia es, sin duda subjectives y la gente va a ver el término de manera diferente. Creo que una prueba de que es fácil de seguir y muestra las ideas esenciales es elegante. Puede utilizar herramientas de lujo o proceder de maneras inesperadas, pero que no es necesario. Simple, breve y muy claro, esas son las marcas de una elegante prueba para mí.

Answer 2

En mi opinión, muchos matemáticos definir elegante , una prueba de que no es "mainstream". Tal prueba no debe ser trivial o de la fuerza bruta de la aplicación de los resultados anteriores. Se debe posiblemente a la mezcla de distintas ramas de las matemáticas, y contienen algo de sorpresa. Por supuesto, también debería más bien corto, pero esto no es realmente necesario para una prueba de ser elegante. Hay casos en los que una demostración elegante podría ser descrito como "demasiado abstracto" o "innecesariamente basado en teorías avanzadas". Pero esto es natural, ya que el concepto de la elegancia está vinculado a nuestra educación y nuestras preferencias.

Answer 3

En primer lugar, tenga en cuenta que cuando usted demostrar algo, que generalmente se indica que una declaración es proveably de algo. Supongamos $\Lambda$ es un conjunto de axiomas. $\Lambda \vdash \varphi$ denota una prueba de $\varphi$$\Lambda$. Usted está buscando el más elegante de la prueba de $\varphi$$\Lambda$. Por lo tanto, el segundo punto no es muy significativo, puesto que una prueba de la afirmación de sí mismo (pensamiento puede ser corto y elegante) no es una prueba de uso de $\Lambda$ $\varphi$ no es una declaración en $\lambda$.

Sin embargo, me pueden tratar de resolver algunas de las maneras en que usted puede ser capaz de medir algunas de las características que usted plantea.

1) es posible medir la longitud de la prueba. Asumiendo que usted está trabajando en algunos trajes de etiqueta del sistema (como la lógica proposicional o de primer orden de la lógica) y tratando de demostrar algo a partir de un conjunto de axiomas $\Lambda$, entonces usted puede contar la longitud de la prueba. Una prueba es realmente una secuencia de declaraciones de cada uno de los cuales es axiomas o deduce de las declaraciones anteriores mediante la deducción lógica de la regla de su sistema formal. La longitud de la prueba sería el número de pasos utilizados en la prueba. Tenga en cuenta que una prueba puede ser arbitrariamente largo, ya que siempre puede agregar unnessary pasos para una prueba.

2) Si usted está tratando de demostrar que un enunciado utilizando algunos de los axiomas $\Lambda$, también se puede hacer sentido de utilizar el menor número de axioma. Por supuesto, la declaración de $\varphi$, por lo que están demostrando es ya una declaración en $\Lambda$, luego de que el único axioma sufficies. Sin embargo, dada una prueba, siempre se puede analizar la prueba para ver exactamente que los axiomas eran necesarias. Este tipo de idea es utilizado muy a menudo por lgica, especialmente la teoría de conjuntos. Usted debe haber visto declaración como $ZF$ demuestra producto cartesiano de conjuntos existe, $ZFC$ demuestra cada conjunto puede ser bien ordenado; $ZF$ + el axioma de determinación demuestra cada subconjunto de $\mathbb{R}$ es cuantificable. Por otra parte el uso de la técnica de la lógica, usted puede ser capaz de determinar si algunos de los axiones de redundante. Un conocido resultado es que el axioma de elección no es proveable de $ZF$. Sabiendo que los axiomas son necesarias para que una prueba puede ser útil para la comprensión de los límites de provability; sin embargo, cuando todos los axiomas de bien aceptado, la prueba usando menos axiomas puede ser más difícil. Por ejemplo, cada vector tiene una base puede ser comprobada mediante $ZF$ más el principio de buena ordenación, y sin poder establecer axioma; sin embargo, la más común de Zorn Lema enfoque requiere el poder conjunto de axiomas.

Sus otros puntos son algo subjetivo. Estos otros aspectos son algo phycological. Algunas personas pueden encontrar que una prueba de un resultado que la mayoría de la gente consideraría parte de Álgebra o Análisis es más fácil de entender si se ha demostrado con los resultados de álgebra o análisis, respectivamente. Sería razonable esperar que si el ramo de instrucción son equivalentes, la forma más cercana a la declaración que usted está tratando de demostrar daría los más fáciles de la prueba. Con respecto a esto, hay un programa que en lógica se llama inversa de las matemáticas que trata de clasificar teorema de matemáticas sobre la base muy débil sistema de acuerdo a su lógica de la equivalencia. Algunos de los resultados en esta área han demostrado que el resultado de la combinatoria, topológico teorema, y algebriac teorema son equivalentes más débil del sistema de aritmética. A pesar de estos resultados puede ser equivalente, la más evidente prueba de que utilizarían el resultado más cercano a campo que se está trabajando.

De nuevo a otras personas puede que, como prueba de que aplica técnicas de otras áreas. Estos resultados pueden ser sorprendentes y rendimiento de nuevo y potencialmente útil conexiones a otros campos.

También es difícil decir que una prueba es elegante si es comprensible por personas en particular. Dependiendo de fondo y el punto de vista de la prueba puede ser más comprensible o más atractivo. Por ejemplo, algunos resultados pueden tener menos general de las formas que sean comprensibles para los estudiantes de secundaria, pero la prueba es muy largo o complicado. Un buen ejemplo puede ser el intermedio y el valor extremo teorema. La declaración de el resultado y la prueba de que el resultado general de la topología de ideas como función continua, la conectividad, y la compacidad es mucho más limpio después de la definición adecuada y los lemas son dadas. Estos resultados son más aplicables a otras áreas de las matemáticas.