CW complejo tal que la acción induce la acción de anillo de grupo en el celular de la cadena de complejos.

Question

Deje $X$ ser un espacio que satisface las hipótesis utilizadas para la construcción de una universalización de la cobertura $\overline{X}$. Deje $\pi = \pi_1(X)$ y considerar la acción del grupo $\pi$ sobre el espacio $\overline{X}$ dada por el isomorfismo de $\pi$$\text{Aut}(\overline{X})$. Deje $A$ ser un grupo abelian y deje $\mathbb{Z}[\pi]$ act trivialmente en $A$, $a \cdot \sigma = a$ para$\sigma \in \pi$$a \in A$.

Ahora, suponga que $X$ es un CW complejo. ¿Cómo puedo ver que $\overline{X}$ es un CW complejo tal que la acción de la $\pi$ $\overline{X}$ induce una acción de el anillo de grupo $\mathbb{Z}[\pi]$ en el celular de la cadena compleja $C_*(\overline{X})$ de manera tal que cada una de las $C_q(\overline{X})$ es un servicio gratuito de $\mathbb{Z}[\pi]$-módulo de e$$C_*(X; A) \cong A \otimes_{\mathbb{Z}[\pi]} C_*(\overline{X})?$$

Answer 1

Usted realmente necesita para tomar una CW estructura en $\bar X$ que es heredado por un CW estructura en $X$. Esto significa que a priori su CW estructura es fija durante toda la construcción, y en el fin de mostrar la independencia de la resultante de la homología de la estructura (como se hace en el celular de homología).

Fijar un CW estructura en $X$. El cubrir el espacio $p:\bar X\to X$ hereda la estructura mediante la definición de una estructura celular mediante la elección de todos los ascensores de todas las células, como la descomposición. Tenga en cuenta que la preimagen de una celda $p^{-1}\sigma$ es canónicamente (por la elección de punto de base) homeomórficos a $\pi \times \sigma$ $\pi$ que actúa sobre los $\pi$-muchas copias de $\sigma$ sólo por la multiplicación.

Por lo $C_*(X)$ es sólo el libre $\mathbb Z$-módulo generado por las células de $X$ y de manera similar a $C_*(\bar X)$ es (como un anillo de grupo módulo) la libre $\mathbb Z\pi$-módulo generado por la elevación en el punto de referencia del), las células en $X$.

Esto conduce a la definición de trenzado de homología o homología con local coeficientes. Es decir, dada una izquierda-$\pi$-módulo de $A$ (uno tiene que ser un poco cuidadoso en el nonabelian contexto distinguir a la izquierda y a la derecha los módulos, pero con la natural involución del anillo de grupo podemos sobrevivir a esas cuestiones), se puede calcular la homología con $A$ como coeficientes tomando $H_*(X;A)= H_*(C_\bullet (\bar X) \otimes_\pi A )$. Una muestra de que esta es independiente de la estructura celular.

Por lo $A$ $\pi$- módulo significa tener un rep $\rho : \pi \to Aut(A)$. Se puede ver que basta con mirar en el intermedio de la cubierta correspondiente a $ker \rho$ (que también tiene un celular $\mathbb Z[ \pi/ker\rho]$ complejo de cadena) y gire los coeficientes de ahí, en lugar de hacerlo en la universalización de la cobertura (esto puede ser, por ejemplo, se encuentra en Hatcher "Topología Algebraica" libro que da una breve introducción a este). Esto significa que para su pregunta, donde la acción de los factores a través del aumento, una de las notas:

$$ C_\bullet(\bar X) \otimes_\pi = C_\bullet (X) \otimes_{\mathbb Z} = C_\bullet(X;A). $$