Definición formal del límite

Question

Demostrar $\lim\limits_{x\rightarrow 1} \frac{x^2+3}{x+1}=2$ usando la definición formal de límite.

Mi pregunta es, he escogido $\delta\lt1$, y me he encontrado con que $\delta \lt \min(1,\sqrt{\epsilon})$. Estaba recogiendo $1$ problemático? y es mi elección para $\delta$ correcto?

Resto de la Prueba:

$$0\lt|x-1|\lt \delta \Rightarrow \left|\frac{(x-1)^2}{x+1}\right|\lt \epsilon$$

Recogiendo $\delta \lt 1$:

$$|x-1|\lt 1 \Rightarrow -1\lt x-1 \lt 1$$

Y nos da ese $\frac13 \lt \frac{1}{x+1} \lt 1$, lo que conduce a $\left|\frac{1}{x+1}\right| \lt 1$

Vamos de nuevo:

$$\left|\frac{(x-1)^2}{x+1}\right|\lt \left|1(x-1)^2\right|\lt \epsilon$$

Desde $(x-1)^2\gt 0$ podemos deshacernos de el valor absoluto y llegamos

$$(x-1)^2\lt \epsilon \rightarrow x-1 \lt \sqrt{\epsilon}$$

También: ¿Cuál es la diferencia entre la cosecha $\delta=1$ $\delta \lt 1$

Answer 1

Me parece correcto,la alternativa a corto prueba podría ser:

Para cualquier $\epsilon >0$ ,y por la elección de $\quad \delta =min\left( 1,\epsilon \right)$ y tenga en cuenta que si $\left| x-1 \right| <\delta$ la vamos a conseguir

$$\left| \frac { x^{ 2 }+3 }{ x+1 } -2 \right| =\left| \frac { { x }^{ 2 }-2x+1 }{ x+1 } \right| =\left| \frac { { \left( x-1 \right) }^{ 2 } }{ \left( x-1 \right) +2 } \right| <\left| \frac { { \left( x-1 \right) }^{ 2 } }{ \left( x-1 \right) } \right| =\left| x-1 \right| <\epsilon$$

Answer 2

Aquí está una más "rebuscadas" tipo de solución (Battani es definitivamente más elegante y natural): Nos encontramos con una constante positiva $C$ tal que $\left|\frac{x-1}{x+1}\right|<C\Rightarrow |x-1|\left|\frac{x-1}{x+1}\right|<C|x-1|$, y podemos hacer $C|x-1|<\epsilon$ tomando $|x-1|<\frac{\epsilon}{C}=\delta$. Restringimos $x$, se encuentra en el intervalo de $|x-1|<1$ y tenga en cuenta lo siguiente: $$\begin{align} |x-1|<1&\implies 0<x<2\\[1em] &\implies 1<x+1<3\\[1em] &\implies 1>\frac{1}{x+1}>\frac{1}{3}\\[1em] &\implies 3>\frac{x-1}{x+1}\\[1em] &\implies C=3. \end{align}$$ Por lo tanto, debemos elegir $\delta=\min\left\{1,\frac{\epsilon}{3}\right\}$. Para ver que esta opción de $\delta$ obras, considere lo siguiente: Dado $\epsilon>0$, dejamos $\delta=\min\left\{1,\frac{\epsilon}{3}\right\}$. Si $|x-1|<1$,$\left|\frac{x-1}{x+1}\right|<3$. También, $|x-1|<\frac{\epsilon}{3}$. Por lo tanto, $$\left|\frac{x^2+3}{x+1}-2\right|=|x-1|\left|\frac{x-1}{x+1}\right|<\frac{\epsilon}{3}\cdot3=\epsilon,$$ como se desee. $\blacksquare$