Pregunta blanda: Unión de infinitos conjuntos cerrados

Question

esta es una pregunta que no se aborda en mi libro directamente, pero tenía curiosidad. Acabamos de demostrar que la unión de una colección finita de conjuntos cerrados también es cerrada, pero tenía curiosidad por saber si la unión de infinitos conjuntos cerrados puede ser abierta. Puede que esta pregunta no esté al nivel del libro, así que quizás por eso no se abordó.

Para facilitar las cosas, imaginemos conjuntos que son discos en el plano x-y. Me imagino que si hay discos anidados unos dentro de otros, que en este caso la unión sería claramente cerrada.

Pero ¿qué pasaría si se pudiera construir un conjunto infinito de discos que juntos cubrieran todo el plano real? Entonces, en este caso, parece que cada punto de su unión tendría una bola abierta centrada en el punto que también está contenido en el plano real, por lo que esta unión de una colección infinita de discos crearía un conjunto abierto.

¿Es esta una forma de pensar correcta? ¿O al menos va por buen camino?

Tengo la sensación de que mientras no haya un conjunto individual más grande que contenga a todos los demás, no se obtendrá un conjunto cerrado. Pero tengo la sensación de que hay algo más sutil.

Gracias a todos

Answer 1

Dejemos que $U$ sea un conjunto abierto cualquiera. Cada punto $x \in U$ , tomada como un conjunto de un punto $\{x\}$ está cerrado, y $U$ es la unión de todos estos conjuntos.

Answer 2

Acabamos de demostrar que la unión de una colección finita de conjuntos cerrados también es cerrada, pero tenía curiosidad por saber si la unión de infinitos conjuntos cerrados puede ser abierta.

Claro, uno de los ejemplos más comunes es $\mathbb{R}$ con la topología euclidiana habitual, $$(0,1) = \bigcup_{n=2}^\infty\left[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right]\text{.}$$

Answer 3

En $\Bbb R$ toma $\aleph_0$ intervalos cerrados de $-n$ a $n$ para la naturaleza $n$ : $$\bigcup_{n\in\Bbb N} [-n,n] = \Bbb R$$

Similary $$\bigcup_{n\in\Bbb N^+} \left([-n,-n+1] \cup [n-1,n]\right) = \Bbb R$$

Answer 4

Sólo para abordar su "sensación" usando $\mathbb{R}$ como el contraejemplo puede parecer un poco de truco o un caso especial, ya que es a la vez cerrado y abierto. Pero recuerde que en $\mathbb{R}$ (y en general en $\mathbb{R}^n$ ) hay muchos conjuntos cerrados infinitos. Cualquier intervalo semicerrado cuyo otro extremo es el infinito, $[x,\infty)$ o $(-\infty, x]$ es un conjunto cerrado, y se puede ver fácilmente cómo expresar aquellos como una unión infinita de conjuntos finitos cerrados. Así que no hay necesidad de que ninguna de las cosas de la unión limite al resto.

Pasando a conjuntos cerrados más pequeños, se puede expresar $[0, 1]$ como una unión infinita de conjuntos cerrados, ninguno de los cuales contiene a todos los demás. Consideremos $[1/n, 1]$ para $n > 1$ junto con $[0, 0]$ .

Tu sensación era (no del todo) "toda cubierta cerrada de un conjunto cerrado tiene una subcubierta de tamaño 1". Eso es falso, y ponerlo así puede no significar mucho para ti ahora mismo. Pero recuérdalo para cuando oigas la definición de conjunto compacto, porque estabas casi en algo importante.