Cuando es un modelo genérico de la extensión de algunos de los más pequeños de modelo?

Question

Hace poco he leído sobre Vopenka del Teorema (Jech 15.46), que establece que si a es un conjunto de ordinales, a continuación,$L[A]=HOD^{L[A]}[G]$, lo que significa que si $HOD^{L[A]}\subsetneq L[A]$ $L[A]$ es una extensión genérica de un modelo más pequeño.

Hay otros teoremas que estado de forma concluyente que un determinado interior modelo es una extensión genérica de algún modelo más pequeño? Mejor aún, ¿hay algún tipo de criterio general que podemos solicitar que nos dice si un modelo es una extensión genérica?

Answer 1

Sí. Lev Bukovský demostró ser un muy teorema general que se ocupa precisamente de este problema:

MR0332477 (48 #10804). Caracterización de las extensiones genéricas de los modelos de la teoría de conjuntos, Fundamenta Mathematica 83 (1973), pp 35-46.

Bukovský caracteriza cuando, para un determinado regular el cardenal $\lambda$, $V$ es una $\lambda$-cc extensión genérica de un determinado interior modelo $W$. Para una moderna escritura de Bukovský del teorema, ver

Ralf D. Schidler. El extensor largo de álgebra, pre-impresión. Para aparecer en una edición especial de Archivo de la Lógica Matemática.

Bukovský demostrado que $V$ $\lambda$- cc extensión de $W$ si y sólo si $W$ uniformemente $\lambda$-cubre $V$, lo que significa que para todas las funciones $f\in V$ cuyo dominio se encuentra en $W$ y cuyo rango está contenida en $W$ hay alguna función $g\in W$ con el mismo dominio y tal que $f(x) \in g(x)$ y $|g(x)| < \lambda$ todos los $x \in \operatorname{dom}(f)$. (Por supuesto, relativizar interior del modelo, se obtiene una caracterización de al interior del modelo en sí es una extensión genérica de otro, que era su pregunta explícita.)

El único inconveniente es que el resultado es por lo general que en situaciones específicas de su aplicabilidad puede no ser clara. En muchos casos, uno de los usos ad hoc métodos.

Hay un trabajo activo en lo que ahora se llama el conjunto de la teoría de la geología, el estudio de la clase de interior modelos de $W$ $V$ es una extensión genérica. La lectura de la literatura en esta área pueden ofrecer ejemplos concretos (y, de todos modos, es una buena zona). Por otra parte, la terminología se ha introducido (incluidos los mantos, jardín, bedrocks, y otros términos) se está extendiendo, por lo que es una buena idea para ponerse al día sobre los fundamentos temprano. Un buen lugar para empezar es

MR3304634. Fuchs, Gunter; Hamkins, Joel David; Reitz, Jonas. Conjunto de la teoría de la geología. Ann. Pure Appl. La lógica 166 (2015), no. 4, 464-501.

También hay algunos resultados que involucran a grandes cardenales; esto es realmente una situación común. Normalmente, se empieza con una primaria de la incrustación de $j\!:V\to M$ con punto crítico $\kappa$ donde $M$ ha razonable cierre de propiedades. Digamos que usted está en una situación en la que se definen algunos obligando iteración $({\mathbb{P}}_\alpha,\dot{\mathbb{Q}}_\alpha:\alpha\le\kappa)$ y quiere argumentar que en él se conserva, dicen, de la mensurabilidad de $\kappa$. La forma más sencilla de hacerlo sería mostrar que si $G$ $\mathbb{P}_\kappa$- genérico más de $V$, $V[G]$ la incrustación $j$ ascensores para una incrustación $\hat j\!:V[G]\to N$. Dejar $$j({\mathbb{P}}_\alpha,\dot{\mathbb{Q}}_\alpha:\alpha\le\kappa)=({\mathbb{P}'}_\alpha,\dot{\mathbb{Q}'}_\alpha:\alpha\le j(\kappa)),$$ one common way of achieving this is to show that $\mathbb{P}'_\alpha=\mathbb{P}_\alpha$ for $\alpha\le\kappa$ and that, in $V[G]$, there is an $H$ generic over $M[G]$ para la cola de la iteración. Si este es el caso, entonces la $j$ elevadores de forma directa: simplemente mapa de la $G$-interpretación de una $\mathbb{P}_\kappa$nombre $\tau$ $G*H$- interpretación de la ${\mathbb{P}'}_{j(\kappa)}$nombre $j(\tau)$. Efectivamente, lo que estamos haciendo es identificar las extensiones genéricas de interior modelos en $V[G]$. Un buen lugar para leer acerca de esta configuración es

MR2768691. Cummings, James. Reiteró obligando a los de primaria y de incrustaciones. En el Manual de la teoría de conjuntos. Vols. 1, 2, 3, 775-883, Springer, Dordrecht, 2010.

Por último, hay dispersos por los resultados que muestran casos en los que algunas interior de los modelos son extensiones genéricas de otros modelos y que son detectados por las técnicas independientes de Bukovský del enfoque. Por ejemplo, hay una buena caracterización (debido a Mathias) de cuando una secuencia es genérico para Prikry forzar. Esto conduce a la siguiente resultado: Supongamos $\kappa$ es medible y $U$ es un testigo de lo normal ultrafilter. Usted tiene un ultrapower incrustación $j_{0,1}=j\!: V=M_0\to M_1$ asignación de $\kappa_0=\kappa$$\kappa_1=j(\kappa)$$U_0=U$%#%. Usted puede recorrer en esta situación en la forma más obvia de obtener incrustaciones $U_1=j(U)$. La directa límite de $j_{n,n+1}\!:M_n\to M_{n+1}$ está bien fundada. Su medibles cardenal $M_\omega$ es en realidad el supremum de la $\kappa_\omega$, por lo que es singular en $\kappa_n$ (e $V$ no ver la secuencia de la $M_\omega$). Deje $\kappa_n$. Solovay demostrado que $M_\omega^+=\bigcap_n M_n$ es genérico más de $G=\{\kappa_n:n<\omega\}$ para el Prikry obligando correspondiente a $M_\omega$ y $U_\omega$. Patrick Dehornoy ha generalizaciones de este resultado, véase, por ejemplo,

MR0514228 (80k:03057). Dehornoy, Patrick. Reiteró ultrapowers y Prikry forzar. Ann. De matemáticas. La lógica de 15 (1978), no. 2, 109-160.

Answer 2

No se muy bien la respuesta, pero demasiado largo para un comentario:

Esta es una de las cuestiones estudiadas en el conjunto de la teoría de la geología. En concreto, un modelo de $V$ satisface la tierra axioma GA si no es un (conjunto de) forzando la extensión de cualquier modelo más pequeño. (Sorprendentemente, GA está en el hecho de primer orden expresable.)

En ciertos aspectos, GA es débil: es coherente con CH (a través de $L$) y $\neg CH$, y es (relativamente) de conformidad con la GCH + la existencia de un supercompact cardenal. Dicho de otra manera: hay buena evidencia de que no es un simple combinatoria o gran cardenal basado en la propiedad que implica que un modelo es una forzar la prórroga.

Una obvia dirección a seguir en este punto es tratar de formalizar la frase anterior a través de la imposición de la jerarquía. En el primer nivel, esto parece a mí, aunque yo no ver de inmediato cómo demostrarlo:

Adivinar: no es $\Pi_1$ o $\Sigma_1$ frase que implica $\neg$GA.

Un nivel más arriba, a mí me parece (aunque puedo estar equivocado) que Reitz' la expresión de la tierra axioma es $\Pi_2$, por lo que su negación es $\Sigma_2$. Como para el $\Pi_2$ lado, creo que se rompe por tontas razones: a menos que me estoy perdiendo algo, " $V=L[\{n: 2^{\aleph_{2n}}=\aleph_{2n+1}\}]$ $\{n: 2^{\aleph_{2n}}=\aleph_{2n+1}\}$ es Cohen$L$"$\Pi^1_2$, y esto implica claramente $\neg$GA.

Tal vez este último problema puede ser resuelto por mirar "$\Pi_2$ y compatible con [---]," en lugar de, simplemente,$\Pi_2$, para algunos naturales de la sentencia [---] (por ejemplo, un fuerte gran cardenal de la propiedad - aunque el interior del modelo de la teoría de tales cardenales tendría que ser demostrablemente "malo" ...); sin embargo, mi instinto es que buscando esa frase es, en definitiva, sólo empujando a la pregunta de un nivel atrás.