Cuando es el cierre de un camino conjunto conectado también la ruta de acceso conectado?

Question

¿Cuáles son los criterios generales que podemos imponer en un local de ruta de acceso conectado espacio de Hausdorff $X$ y un camino conectado subconjunto $A$ tal que $\overline{A}$ es la ruta de acceso conectado? Hacer más restricciones deben ser impuestas a $X$ o $A$?

Por ejemplo, yo sé que si $\overline{A}$ es localmente ruta de acceso conectado, a continuación, $\overline{A}$ es la ruta de acceso conectado; para todos los $x \in \overline{A}$ y algunos vecindario $U$ $x$ que está abierto en $\overline{A}$, debe haber algún camino conectado vecindario $U' \subseteq U$ $x$ que está abierto en $\overline{A}$. Es decir, hay algunos subconjunto $V'$ $X$ tal que $U' = V' \cap \overline{A}$. Desde $x$ es un punto de cierre de $A$, $V'$ debe contener algún punto de $x' \in A \subseteq \overline{A}$, es decir,$x' \in U'$, lo $x$ es la ruta de acceso conectado a $x'$ y, por tanto, también a $A$. Esto es válido para todas las $x \in \overline{A}$ $\overline{A}$ es la ruta de acceso conectado.

Sin embargo, la parte difícil es probar que $\overline{A}$ es localmente ruta de acceso conectado, porque $\overline{A}$ es probablemente (?) no se abre en $X$. Soy un completo novato así que la única cosa útil que yo sepa, desde la navegación por las definiciones es que todos abrir los subconjuntos de un local de ruta de acceso conectado espacio heredar la ruta de acceso local de la conectividad. ¿Hay más formas de demostrar que un subespacio hereda ruta de acceso local de la conectividad?

Esto es más específico, pero ayudaría si yo sabía que $A$ fue la diferencia de dos conjuntos cerrados (es decir, la intersección de un conjunto cerrado y un conjunto abierto)?

He estado mirando más restricciones tales como $X$ ser localmente simplemente se conecta, pero la documentación en línea es escasa. Sería locales de conectividad simple ser "heredado más fácilmente" por subespacios?

Answer 1

Aquí hay algo que me acaba de llegar. Esto no necesariamente puede ser capaz de darle un camino de su conjunto para cada punto de su cierre, pero puede funcionar para algunos puntos. Espero te sirva de ayuda:

Deje $S \subseteq X$$x^1 \in \overline{S}$. Supongamos $S$ es la ruta de acceso conectado y existe una contables decreciente (es decir,$U_{i+1} \subseteq U_i$) barrio de la base de $(U_i)_{i=1}^{\infty}$ $x^1$ s.t. para cada una de las $i$, siempre que $s^i \in U_i \cap S$ entonces existe un camino de $S \cap U_i$ $s^i$ a algún elemento de $S \cap U_{i+1}$. A continuación, $S^1 = S \cup \left\lbrace x^1 \right\rbrace$ es la ruta de acceso conectado.

Tenga en cuenta que estamos no suponiendo que en todos los $i$, existe un camino entre cualquier dos punto de $S \cap U_i$. Los conjuntos de $S \cap U_i$ ni siquiera necesitan estar conectados para que este sea más débil que requieren conectividad local de $\overline{S}$$x^1$. Si esta condición se cumple en cada una de las $x^1 \in \overline{S}$ (o, más en general, si existe un punto en cada ruta-componente de los límites de la $S$), a continuación, $\overline{S}$ es la ruta de acceso conectado.

Prueba: Supongamos $0 = t_0 < t_2 < \cdots < 1$ s.t. $t_i \to 1$. Pick $s^0 \in S$$s^1 \in S \cap U_1$. Deje $\gamma_0 : [t_0, t_1] \to S$ ser un camino de$s^0$$s^1$. Supongamos que para todos los $1 \leq l \leq i + 1$ hemos escogido $s^l \in S \cap U_l$, y para todos los $1 \leq l \leq i$ hemos construido caminos $\gamma_l : [t_l, t_{l+1}] \to S \cap U_l$$s^l$$s^{l+1}$. Por supuesto, podemos elegir el $s^{i+2} \in S \cap U_{i+2}$ y un camino de $\gamma_{i+1} : [t_{i+1}, t_{i+2}] \to S \cap U_{i+1}$$s^{i+1}$$s^{i+2}$.

Después de iniciar esta inductivo de construcción en $i = 0$ podemos definir $\gamma : [0, 1] \to S^1$ $[0, 1)$ en la forma obvia y, a continuación, declare $\gamma(1) = x^1$. Para cualquier entero $N$, $l \geq N$ implica $\operatorname{Im} \gamma_l \subseteq U_l \subseteq U_N$, de modo que $\gamma([t_N, 1]) \subseteq U_N$. Por lo tanto $\gamma$ es continua en a $1$, lo que muestra que $x^1$ pertenece a la ruta de acceso de un componente de $\overline{S}$ contiene $S$.