Qué $\det(A) \neq 0$ (donde a es la matriz de coeficientes) $\rightarrow$ bases en espacios vectoriales otros de $R^{n}$?

Question

Sé que para un conjunto de vectores $\{ v_{1}, v_{2}, \ldots , v_{n} \} \in \mathbb{R}^{n}$ podemos demostrar que los vectores forman una base en $\mathbb{R}^{n}$ si se demuestra que el coeficiente de la matriz de $A$ tiene la propiedad de $\det(A) \neq 0$, porque esto muestra la homogeneidad de sistema solo tiene la solución trivial, y la no-homogéneo sistema es consistente para todos los vectores $(b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{n}) \in \mathbb{R}^{n}$.

Intuitivamente, este concepto parece aplicable a todos los polinomios en la $\mathbf{P}_{n}$ y todas las matrices en $M_{nn}$. Alguien puede validar esta?

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Creo que para hacer la intuición retención, $A$ debe ser definido de la siguiente manera en $M_{nn}$:

Deje $M_{1}, M_{2}, ... , M_{k}$ ser matrices en $M_{nn}$.

Para probar estos forman una base para $M_{nn}$, debemos mostrar que $c_{1}M_{1} + c_{2}M_{2} + ... + c_{k}M_{k} = 0$ tiene sólo la solución trivial, y que todos los $n \times n$ matriz puede ser expresado como $c_{1}M_{1} + c_{2}M_{2} + ... + c_{k}M_{k} = B$.

Así que yo creo que para $M_{nn}$, $A$ debe ser definido como un $n^{2} \times n^{2}$ matriz donde cada vector fila se forma a partir de todos los $(i, j)$ entradas tomadas de $M_{1}, M_{2}, ... , M_{k}$ (en ese orden.)

$\text{por ejemplo } A = \begin{pmatrix} M_{1_{1,1}} & M_{2_{1,1}} & ... & M_{k_{1,1}} \\ M_{1_{1,2}} & M_{2_{1,2}} & ... & M_{k_{1,2}} \\ ... & ... & ... & ... \\ M_{1_{n,n}} & M_{2_{n,n}} & ... & M_{k_{n,n}} & \end{pmatrix}$

Sin embargo, no estoy seguro acerca de esto.

Answer 1

Usted debe ser consciente de que para cualquier $n$ hay esencialmente un único espacio vectorial real de dimensión $n$, en el sentido de que cualquiera de los dos son isomorfos (aunque no canónicamente). Por ejemplo, el espacio real de los polinomios de grado $\leq n$ es un espacio vectorial real de dimensión $n+1$, por lo tanto isomorfo a ${\Bbb R}^{n+1}$, el espacio de $M_n({\Bbb R})$ de square $n\times n$ real de las matrices es un espacio vectorial real de dimensión $n^2$, por lo tanto isomorfo a ${\Bbb R}^{n^2}$, y así sucesivamente. Una vez que usted pruebe una declaración en particular para ${\Bbb R}^{n}$, se demostró que, para TODOS los espacios vectoriales de dimensión $n$.

Lo mismo, más en general, cuando se consideran espacios vectoriales sobre cualquier otro campo de $\Bbb R$.

Answer 2

No estoy exactamente seguro de lo que iba a decir por el coeficiente de la matriz de un conjunto de vectores en $P_n$ o $M_{nn}$. Si te refieres a por ejemplo, vamos a $f \in P_n$$a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n$, identificar esto con el vector $(a_0, a_1, \ldots, a_n)$, entonces se debe considerar la matriz formada por a $n+1$ estos vectores, entonces forman una base si y sólo si el determinante de la matriz $\neq 0$. La razón, por supuesto, es que he implícitamente escrito hasta el isomorfismo entre el$P_n$$\mathbb{R}^{n+1}$. Lo mismo va para $M_{nn}$ una vez que hacer algunos correspondiente isomorfismo con $R^{n^2}$.

Answer 3

En general, una matriz cuadrada sobre un anillo conmutativo es invertible si y sólo si su determinante es una unidad en ese anillo. (Wikipedia)

Por una unidad de significado es un elemento que tiene un inverso multiplicativo en el ring. Desde el cero es el único elemento de $\mathbf{R}$ sin un inverso multiplicativo, una matriz de más de $\mathbf{R}^n$ es invertible con determinante distinto de cero (nota: cada campo es un anillo).

Desde el invertibility de una matriz implica que su constituyente vectores columna se extienden por el espacio, las columnas de una $n x n$ matriz en $\mathbf{F}^n$ son una base para $\mathbf{F}^n$ si el determinante de la matriz es una unidad en el anillo.