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Encontrar el número de funciones que $f(f(a))=a$

Vamos A X ={1, 2, 3, 4}. Encontrar el número de funciones de $f : X \rightarrow X$ satisfacción $f(f(a)) = a$ todos los $1 \le a \le 4$.

Tomé la $f(x) =x$ y, a continuación, hay 1 posibilidades. Pero la respuesta es dada como 10. ¿Cómo es 10?

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paw88789 Puntos 19712

Aquí hay un par de posibilidades. Vea si usted puede averiguar el resto.

$1\to 2, 2\to 1, 3\to 3, 4\to 4$

y

$1\to 2, 2\to 1, 3\to 4, 4\to 3$

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DiGi Puntos 1925

SUGERENCIA: Si $f(x)=x$, entonces por supuesto tendremos $f(f(x))=x$ así, pero hay otra posibilidad: si $f(x)=y$$f(y)=x$,$f(f(x))=f(y)=x$$f(f(y))=f(x)=y$, por lo tanto $x$ $y$ se comportan correctamente. Estas son las únicas posibilidades, sin embargo. Vamos a darle a cada función de un código que describe los elementos de $X$ deja fijo y que los elementos que swaps: si $f(x)=x$, escribiremos $(x)$, y si $f(x)=y\ne x$$f(y)=x$, escribiremos $(xy)$. El código de la función identidad es, por tanto,$(1)(2)(3)(4)$. El código de la función que envía a $1$ a sí mismo, $2$ a $3$, $3$ a $2$ $4$ a sí misma es $(1)(23)(4)$.

Ahora, la pregunta es: ¿cuántos de esos códigos?

  • Podemos tener $0$ swaps;$(1)(2)(3)(4)$, la función identidad.
  • Podemos tener $1$ swap y dos puntos fijos, como $(1)(23)(4)$; cuántos de esos hay?
  • Podemos tener $2$ swaps, como $(13)(24)$; cuántos de esos hay?

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