¿Es$\text{Trace}(e^{XA+A^TX})$ una función convexa de X?

Question

¿$\text{Trace}(e^{XA+A^TX})$ Es una función convexa de $X$? $X$ es diagonal y positiva definida, $A$ es definido simétrico negativo definitivo.

Y por cierto, cuál es la mejor manera de resolver un problema de la forma:

$\text{min}.$ $\text{Trace}(e^{XA+A^TX})$

s.t. $X$diagonal, $X_{ii}>0$ y $1^T X 1<x>donde $X$ $A$ las variables es simétrica negativa definitiva, $x>0$, $x \in R$

</x>

Answer 1

Deje $D$ (resp. $D^+$) en el conjunto de la diagonal de las matrices (resp. diagonal positiva matrices). Deje $f:X\in D^+\rightarrow tr(e^{XA+AX})$. Buscamos $\min_X f(X)$ bajo la condición de $tr(X)=\sum_i x_{i,i}=x$.

Afortunadamente la primera derivada de la $f$ es fácil de calcular. Para cada $H\in D$, $f'_X(H)=tr(e^{XA+AX}(HA+AH))$ ; el Lagrange condición de nuestro problema puede ser escrito: no es $\lambda\in\mathbb{R}$ s.t., para cada $H\in D$,$f'_X(H)+\lambda tr(H)=0$ o $tr((Ae^{XA+AX}+e^{XA+AX}A+\lambda I)H)=0$. Que es equivalente a la siguiente $n$ igualdades:

(*) para cada $i$, $(Ae^{XA+AX}+e^{XA+AX}A+\lambda I)_{i,i}=0$.

Comentario 1. Si $tr(X)<x$, a continuación, poner $\lambda=0$ en la fórmula anterior.

Observación 2. Por desgracia, la segunda derivada de $f$ es difícil de calcular.

EDIT 1: @ interrogador , Tim Notke (un entrenador de baloncesto de la secundaria) dijo "El trabajo duro beats talento cuando el talento no trabaja duro ".

Si buscamos los puntos críticos, entonces, necesariamente $tr(X)=x$, e incluso el $\lambda >0$. De hecho, $XA+AX$ simétrica implica que $e^{XA+AX}$ es simétrica $>0$. Por lo tanto $spectrum(Ae^{XA+AX})\subset \mathbb{R}^{*-}$$tr(Ae^{XA+AX})<0$. Por último, las relaciones (*) implica que $\lambda>0$ y, por tanto,$tr(X)=x$.

EDICIÓN 2. Deje $S_n$ ser el conjunto de real simétrica de las matrices. $X\in S_n\rightarrow e^X$ no es una matriz de función convexa. Sin embargo, $X\in S_n\rightarrow \log(tr(e^X))$ es un espectral de la matriz de la función y es convexa. cf. la convexidad de la matriz "soft-max" (registro de la traza de la matriz exponencial)

Por lo tanto $g:X\in S_n\rightarrow tr(e^X)$ también es convexo. Aquí vamos a considerar $f:X\in S_n\rightarrow g(XA+AX)$, y para cada simétrica $H$, $f''_X(H,H)=g''_{XA+AX}(HA+AH,HA+AH)\geq 0$. Por último, para cada simétrica $A$, $f$ es convexa $S_n$.