Respuesta parcial. Comentarios y correcciones siempre son bienvenidos!
(a) yo no era capaz de resolver esta parte del ejercicio en forma satisfactoria. Sin embargo, una forma de abordarlo sería mostrar que $Gal(L/K) = \mathbb{Z}_4$. A continuación, uno podría invocar el siguiente teorema
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para encontrar ese $Gal(L/\mathbb{Q})$ es el diedro grupo de orden $8$. Me gustaría evitar este enfoque avanzado. Debe haber un enfoque mucho más simple de usar sólo la teoría de Galois. Puede alguien me ayuda?
(b) idem.
(c) Un cálculo simple muestra que
$$\begin{eqnarray}
\sigma^2(\sqrt{uu'}) &=&\sigma\left(\sigma(\sqrt{u} \sqrt{u'})\right) \\
&=&\sigma\left(\sigma(\sqrt{u}) \sigma (\sqrt{u'})\right) \\
&=& \sigma \left (\sqrt{u'} (- \sqrt{u})\right) \\
&=& \sigma (\sqrt{u'}) \sigma(- \sqrt{u})) \\
&=& -\sqrt{u} (- \sqrt{u'}) \\
&=& \sqrt{uu'}
\end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray}
\sigma \tau (\sqrt{uu'}) &=& \sigma \left( \tau (\sqrt{u} \sqrt{u'})\right) \\
&=& \sigma \left( \tau (\sqrt{u}) \tau( \sqrt{u'})\right) \\
&=& \sigma \left ( \sqrt{u} (- \sqrt{u'}) \right) \\
&=& \sigma( \sqrt{u}) (- \sigma(\sqrt{u'})) \\
&=& \sqrt{u'} (- (-\sqrt{u})) \\
& =& \sqrt{u u'}
\end{eqnarray}$$
Esto demuestra que $\sqrt{uu'}$ es fijado por tanto $\sigma^2$$\sigma \tau$. Por lo tanto, por la parte (b) esto significa que $\sqrt{uu'}$ se encuentra en el campo fijo $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$. Decir que $\sqrt{uu'}=a+b\sqrt{-7}$ algunos $a,b \in \mathbb{Q}$, luego
$$\begin{eqnarray}
- a - b \sqrt{-7} &=& -(a+b\sqrt{-7}) \\
&=& - \sqrt{uu'} \\
&=& \tau(\sqrt{uu'}) \\
&=& \tau (a+b\sqrt{-7}) \\
&=& \tau(a) + \tau(b\sqrt{-7}) \\
&=& a - b\sqrt{-7} \\
\end{eqnarray}$$
tal que $a=0$. Por lo tanto $\sqrt{uu'}=m \sqrt{-7}$ algunos $m \in \mathbb{Z}$. Para ver por qué se $m$ es de hecho un número entero, y no es un número racional, plaza de los dos lados.
(d) Observar que
$$N(u)=N(a+b\sqrt{2})=a^2 - 2b = (a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2})=uu' = -7m^2$$
Además, desde el $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es un UFD y $u=a+b\sqrt{2}$, podemos factor de $u$ excepcionalmente, dicen
$$u=p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r}$$
Tomando normas que ver que al menos uno de los números primos necesita tener a la norma $-7$. El ejercicio sugiere que este elemento se $\pi=2 \sqrt{2}-1$.
$\color{red}{\text{But how can I conclude that this is the only possibility?}}$ Probablemente hay muchos más elementos con la norma $-7$, ¿verdad? De todos modos, vamos a $\alpha$ ser de todo, además de a $\pi$ en el de arriba de la factorización, a continuación,$N(\alpha)=m^2$, e $\alpha$ es el elemento deseado.
(e) $\color{red}{\text{Why can one assume that there are no square factors of $u$ in the ring $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$?}}$ Esta no es la cuestión en juego, pero me gustaría saber por qué.
De todos modos, ya $N(\alpha)=N(m)$, ambos elementos deben diferir por una unidad de $\epsilon$, es decir,$\alpha = \epsilon \cdot m$. Por lo tanto $u = \pi \alpha = \epsilon \pi n$. El cambio de $m$ $n$en el ejercicio, sólo parece ser una conveniencia notacional.
Por un famoso teorema de Dedekind, se pueden determinar los elementos principales. Esta cuestión se planteó también aquí. Sin embargo, Alex Youcis afirma que su respuesta fue incompleta. Básicamente se resume dos opciones. Pero en el contexto de mi ejercicio, parece que no sólo es necesario disponer de una opción, a saber,
$$p \equiv 3, 5 \mod{8}$$
$\color{red}{\text{I don't see why the other option must be excluded}}$. De todos modos, la combinación de este con el anterior, y el hecho de que $u$ no tiene plazas (por qué?), tenemos que
$$u=\epsilon \pi (p_2 \ldots p_r)$$
con $p_2,\ldots p_r$ entero de los números primos. De $p \equiv 3,5 \mod{8}$ es claro que ninguno de los de arriba de enteros primos puede ser igual a $2$ o $7$.
(f) Ahora,
$$ u \mathcal{O}_L = \pi \mathcal{O}_L \cdot n \mathcal{O}_L$$
con $u = \sqrt{u}\sqrt{u}$ un cuadrado. Esto es evidente, basta recordar que uno está trabajando de nuevo en el anillo más grande y ya no en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. Como consecuencia, cada uno de los prime que divide $n$ ramifies en $\mathcal{O}_L$. Por otro lado, hay un famoso teorema que dice que
$$p \textrm{ ramifies in } L \Leftrightarrow p \mid d_k$$
Desde $d_k=56$, $p=2$ $p=7$ se ramifican en $L$. Pero esto significaría que $p=2,7$ divide $n$. Pero esto es una contradicción, porque de la parte (e). Necesito perfeccionar este argumento un poco más, pero a partir de esto, debo concluir que $n=\pm 1$.
(g) De la parte anterior sabemos que $n = \pm 1$. Suponga $n=1$ y escribir
$$u = \epsilon \pi$$
Si $n=-1$ sólo cambiar la unidad a $\epsilon'$. Sabemos que todas las unidades en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ son de la forma $\pm (\sqrt{2} - 1)^m$. Ahora, por nuestra hipótesis original (de nuevo: ¿por qué?), $u$ no tenía ninguna plaza factores, por lo tanto no debemos considerar que cualquier cosa de la forma $\pm (\sqrt{2}-1)^{even}$. Así, se considera sólo a $\epsilon = \pm (\sqrt{2}-1)^{odd}$. Pero, desde
$$N(\epsilon) = N(\pm (\sqrt{2}-1)^{odd})=-1$$
y
$$-7 = N(u)=N(\epsilon) N(\pi) = -7 N(\epsilon),$$
esto no puede ocurrir nunca. Así que la única posibilidad que le queda es que $\epsilon= \pm 1$. Pero desde $\pi = 2 \sqrt{2} - 1 > 0$ $u>0$ por supuesto, podemos concluir que $\epsilon=1$.
Conclusión: a armar todo tenemos que $u = \pi = 2 \sqrt{2} - 1$ y esto nos da la primitiva elemento de Hilbert Campo de la Clase de
$$L=K\left(\sqrt{2 \sqrt{2} - 1}\right)$$
