$A \in M_{n \times n} (\mathbb R)$, $n\geq 2$ rango ($A) = 1$, rastro ($A) = 0$. Probar A no es diagonalizable

Question

Dado:

$A \in M_{n \times n} (\mathbb R)$, $n\geq 2$, rango($A) = 1$, trace($A) = 0$. Probar que a no es diagonalizable y encontrar $P_A(x)$.

Así que me dijo:

si $n \geq 2$ y el rango ($A)=1$$A$ no es invertible. Que significa que tiene un autovalor 0. Su multiplicidad geométrica es $n-1$, ya que, de nuevo, el rango de$(A)=1$. Ahora también sabemos que la traza es la suma de todos los autovalores que significa $\operatorname{trace}(A) = 0^{n-1} + \lambda_x = \lambda_x = 0$ lo que significa que TODOS los valores propios son $0$.

Es eso correcto? y si es así, ¿significa que no es diagonalizable? (y si es correcta, a continuación, de curso $P_A(x) = \lambda^{n}$.

Answer 1

Sí, es correcto.

Pero probablemente es mejor decir que las raíces del polinomio característico del lugar de los autovalores, y debe tener en cuenta en algún lugar que ellos también pueden ser números complejos.

También hay un pequeño error/escritura: debe ser ${\rm trace}(A)=(n-1)\cdot 0+\lambda_x$.

Sí, tenemos que el polinomio característico es $P_A(x)=x^n$.

Y, para terminar, se puede considerar que las Jordan en la forma de $A$: se debe tener sólo $0$'s en la diagonal... (Un pequeño ejemplo es $A=\pmatrix{0&1\\0&0}$.)

O, se puede concluir que este tipo de una matriz diagonalizable sólo podría ser ${\rm diag}(0,0,0,0,..,0)$ que es el nulo de la matriz, pero este tiene rango $0$.

Answer 2

Si diagonalized $A$ $\rm{diag} (x_1,\cdots, x_n)$ entonces $\rm{rank} (A)=1$ implica $x_ix_j=0$ % todo $i\neq j .$si cualquier $x_k$ no es $0$ el $x_i$ son, así $\rm trace (A) = x_k\neq 0.$