<p>Polinomios de producto interno</p>

Question

Sea $V$ el espacio vectorial de polinomios reales $\mathbb{R}[x]$ dotado con el producto interno

$\langle f,g \rangle = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|}f(x)g(x) \ dx$

Considerando la secuencia de subespacios $\{V_n\}$ donde

$V_n = \{f(x) \in \mathbb{R}[x] : \deg f \leq n \}$

o de otra manera, mostrar que existen polinomios mónicos únicos $\phi_n(x)$ para $n \geq 0$ tal que

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|}\phi_n(x)g(x) \ dx = 0$

cuando $\deg g < n$, y encontrar $\phi_n(x)$ para $n = 0,1,2.$

¿Cuál es el coeficiente de $x^{2000}$ en $\phi_{2007}(x)$?

¡Estoy teniendo problemas incluso para saber por dónde empezar con esta pregunta, cualquier ayuda será apreciada!

Answer 1

• $n = 0$: $\phi_n$ siendo mónico implica $\phi_0 = 1$, si $\mathrm{deg}(g)<0$, entonces $g = 0$, y $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|}\phi_0(x)g(x) \, dx = 0 $$ es trivial.

• $n= 1$: $\phi_1$ tiene que ser $x$ para ser mónico, y $g = c$ es una constante, por simetría de la integral: $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|}\phi_1(x) c\, dx = 0 $$ para $e^{-|x|}\phi_1(x)$ es impar.

• $n= 2$: sea $\phi_2(x) = x^2 + a_1 x +a_2$, $g\in \mathrm{span}\{1,x\}$, por simetría $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|}(x^2 + a_1 x +a_2) x\, dx = 0 $$ implica que $a_1= 0$, y $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|}(x^2 + a_2)\, dx = 0 $$ da $a_2 = -2$. Por lo tanto $\phi_2(x) = x^2 - 2$ que no tiene un término de grado 1.

• $n= 2007$: $g\in \mathrm{span}\{1,x,\ldots,x^{2006}\}$, eligiendo ciertos $g$ te permitirá descubrir que ciertos términos de grado en $\phi_{2007}$ son cero mediante un argumento de simetría como el anterior (la integral de una función impar es cero de $-\infty$ a $\infty$, dado que es integrable), el resto queda para que lo intentes.

• Resultado general para $\phi_n$, discuta los casos para $n$ siendo impar y par como arriba.