Resolviendo límites sin usar la regla de L'Hôpital

Question

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{b(1-\sin x) }{(\pi-2x)^2}$$

Llevaba semanas resolviendo preguntas como estas usando la regla de L'Hôpital. Pero hoy, un día antes del examen, me enteré de que su uso ha sido 'prohibido', ya que nunca nos enseñaron oficialmente la regla de L'Hôpital.

Ahora estoy perdido en cómo resolver preguntas que anteriormente resolvía fácilmente. Aunque no es posible aprender en 18 horas métodos que cubran todo tipo de problemas, espero poder entender lo suficiente para salvar el examen de mañana.

Se me ha insinuado que lo anterior podría resolverse usando técnicas trigonométricas, pero no sé cómo hacerlo.

Answer 1

Eso es algo bueno que se haya prohibido la regla de L'Hospital. Si no se aplica bien, puede llevar a errores, y cuando funciona, el uso de la fórmula de Taylor de orden $1$ es lógicamente equivalente. Muy a menudo, usar equivalentes es la forma más corta de calcular un límite.

Dicho esto, use la sustitución: defina $x=\dfrac\pi2-h$; $h\to 0$ si $x\to\dfrac\pi2$. Entonces $$\frac{b(1-\sin x)}{(\pi-2x)^2}=\frac{b(1-\cos h)}{4h^2}$$ Ahora es un límite estándar que $$\lim_{h\to 0}\frac{1-\cos h}{h^2}=\lim_{h\to 0}\frac{1-\cos^2 h}{h^2(1+\cos h)}=\lim_{h\to 0}\Bigl(\frac{\sin h}h\Bigr)^2\frac1{(1+\cos h)}=\frac12.$$ Por lo tanto, el límite en cuestión es igual a $\color{red}{\dfrac b8}.$

Answer 2

$$\begin{align}\lim_{x\to \pi/2}\frac{b(1-\sin x)}{(\pi-2x)^2}&=\lim_{x\to \pi/2}\frac{b(1-\cos(x-\frac{\pi}{2}))}{(\pi -2x)^2}\\\\&=\lim_{x\to\pi/2}\frac{b\sin^2(x-\frac{\pi}{2})}{4(x-\frac{\pi}{2})^2(1+\cos(x-\frac{\pi}{2}))}\\\\&=\lim_{x\to\pi/2}\frac{b}{4}\cdot\frac{1}{1+\cos(x-\frac{\pi}{2})}\cdot\left(\frac{\sin(x-\frac{\pi}{2})}{x-\frac{\pi}{2}}\right)^2\\\\&=\frac{b}{4}\cdot\frac{1}{1+1}\cdot 1^2\end{align}$$

Answer 3

Pista: Utiliza las identidades trigonométricas:

$$\sin(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\\\sin\frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}(1-\cos t)}$$

En concreto, establece $t=\frac{\pi}{2}-x$ luego quieres:

$$\lim_{t\to 0} \frac{b(1-\cos t)}{4t^2}$$

Luego utiliza las identidades trigonométricas anteriores, reemplazando $1-\cos t$.

Answer 4

Si $b = 0$, entonces no hay nada que resolver; deja que $b \neq 0$. Pero $$ \lim_{x \to \pi/2} \frac{b(1 - \sin x)}{(\pi - 2x)^{2}} = b\lim_{h \to 0}\frac{1 - \sin (h + \pi/2)}{4h^{2}} = b\lim_{h \to 0}\frac{1 - \sin h \cos (\pi /2) - \cos h \sin (\pi/2)}{4h^{2}}\\ = b\lim_{h \to 0}\frac{1 - \cos h}{4h^{2}} = b\lim_{h \to 0}\frac{\frac{h^{2}}{2} + o(h^{2})}{4h^{2}} = \frac{b}{8}. $$

Answer 5

Obtenemos $$\frac{(1-\sin(x))(1+\sin(x))}{(1+\sin(x))(\pi-2x)^2}$$ con $t=\pi-2x$ obtenemos $$\frac{(\sin(t/2))^2}{4(\frac{t}{2})^2}$$