¿Libros de nivel universitario centrados en la intuición?

Question

Ayudo a algunos estudiantes con dificultades en Matemáticas y Física (especialmente a estudiantes de matemáticas, física e ingeniería). Mientras que en el instituto no suelen estudiar, o no les interesa, etc., en la universidad parecen carecer de intuición, o simplemente se les enseña a sofocar su propia intuición con formalismos que realmente no entienden.

De vez en cuando se me ocurren ideas intuitivas, ejemplos, imágenes. A veces se les ocurren sus propias ideas y me piden que compruebe "si han entendido bien lo que hay detrás". Pero esto no ocurre a menudo, porque ellos (y yo) no tenemos mucho tiempo que perder (o invertir ) en estos "juegos".

Un libro completo que se centre en los aspectos intuitivos, además de su propio texto oficial, a veces es exactamente lo que necesitamos. Me gusta especialmente el libro " Análisis visual de complejos "de T. Needham, por ejemplo.

¿Conoce algún otro libro que se centre en la intuición, la visualización y la comprensión, más que en el rigor y el formalismo?

Los temas que "exigirían" un tratamiento de este tipo son, en mi opinión y en la de mis alumnos:

• Formas diferenciales y cohomología de Rham
• Álgebra lineal
• Geometría diferencial de curvas y superficies
• Geometría riemanniana
• Grupos de Lie y álgebras de Lie (quizá con especial atención a sus aplicaciones a la mecánica, para físicos e ingenieros).
• Relatividad (especial y general)
• Probabilidad y procesos aleatorios.

Otros temas también son bienvenidos. (También más avanzados, si existen).

Podríamos reformular la pregunta de la siguiente manera: ¿Cuáles son los libros de introducción que desearía haber conocido antes? Gracias.

Answer 1

Para Geometría Diferencial, una combinación de Elementos de Geometría Diferencial de Millmann y Parker y Geometría Diferencial Elemental de Andrew Pressley es muy buena para desarrollar la intuición geométrica. Del mismo modo, para Geometría de Riemann, el libro de DoCarmo sobre Geometría de Riemann es muy bueno (hay que hacer muchos ejercicios para extraer conceptos). Para álgebra abstracta $Topics\ in \ Algebra$ de Herstein es el mejor (aunque conviene una segunda lectura). Para topología, aparte de la Topología estándar de Munkres, me gustó $Topology$ por Klaus Janich.

Answer 2

Personalmente, creo que el texto Graph Theory de Doug West es una gran introducción al tema. Creo que Algebraic Graph Theory de Godsil y Royle también es un buen texto. Es una lectura bastante fácil para estudiantes universitarios con algo de álgebra lineal y abstracta, así como un poco de teoría de grafos. Personalmente me gusta Dummit y Foote para Álgebra Abstracta, pero es un poco sofisticado. Durbin es quizás una lectura más fácil para aquellos que tienen algunos problemas.

En cuanto al álgebra lineal, considero que la teoría de grafos y la combinatoria son un excelente precursor para explicar los conceptos. La independencia lineal es análoga a la aciclicidad en un grafo, si se consideran los Matroides. Esto facilita la visualización de las bases como árboles de expansión, que creo que son menos abstractos. Al hablar de transformaciones lineales, la intuición combinatoria me resulta bastante útil. Al ver isomorfismos, enseñar a los alumnos a "ver" la biyección puede ser útil. También es útil utilizar intuiciones combinatorias para transformaciones no biyectivas, como por ejemplo $T: \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \to \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})$ por $T(v) = \frac{dv}{dx}$ . Al ver la diferencia de dimensión, es más fácil visualizar combinatoriamente por qué tal transformación puede ser a lo sumo onto, pero nunca one-to-one. Lo siento si esto es un poco fuera de tema, ¡pero pensé en compartirlo!

Answer 3

Lo siguiente puede ser útil:

Todas las matemáticas que te perdiste: Pero necesitas saber para el posgrado por Thomas A. Garrity y Lori Pedersen

Conferencias sobre física matemática Vol. 1 y Vol. 2 de Robert Hermann (y otros libros suyos)

Sin embargo, no puedo evitar preguntarme sobre alguien que estudia cosas como formas diferenciales y cohomología de Rham que "no se molestó en estudiar matemáticas en el instituto". Casi diría que esa gente no existe, salvo que me he encontrado con unos cuantos. Pero sólo unos pocos . Casi siempre, según mi experiencia, los que llegan al nivel medio de matemáticas han destacado en matemáticas durante el bachillerato (a no ser que hayan asistido a un bachillerato de élite o de admisión especial) o han tenido suficiente interés por las matemáticas como para superar su falta de aptitudes de alto nivel.

Answer 4

Yo también soy un estudiante de los que has mencionado que carecía de intuición para las matemáticas en el colegio y me di cuenta al llegar a la universidad que las matemáticas que aprendía eran matemáticas para aprobar un examen pero no más que eso.Así que estoy dispuesto a ayudarte en lo que pueda.

Yo también estoy en una carrera para entrar en el mundo intuitivo de las Matemáticas pero no sé cuando terminaré la carrera.

Estos son los libros y enlaces que yo sugeriría para tener una intuición sobre las Matemáticas:

1. Apuntes de matemáticas de Christopher Cooper por Christopher Cooper
2. Notas de trigonometría por Steven Butler
3. Cálculo fácil por Silvanus P. Thomspon
4. Estadística en línea por Penn State
5. Álgebra lineal por Joshua
6. Matemáticas geniales (donde podrías intuir el álgebra y las rectas-dentro de la sección de álgebra,que te da recta + álgebra = álgebra lineal)
7. Por último Las matemáticas son divertidas mantenido por Rod Pierce(no se sabe mucho más) donde se intuyen las matemáticas básicas.

Además, si quieres las versiones offline de (4) y (7), no te preocupes por los derechos de autor, porque todas son gratuitas.