Sí, tu ejemplo da un ejemplo de un sistema incompleto. Esto se debe a que has tomado un sistema de axiomas intencionadamente débil pero una semántica fuerte. Otra forma de obtener un ejemplo es simplemente tomar cualquier semántica y desechar todo las reglas de inferencia. Entonces nada es demostrable.
La razón por la que los teoremas de incompletitud son más interesantes que esto es que se aplican a todo conjunto efectivo de reglas de inferencia para la aritmética, sin importar lo fuertes que intentemos hacer las reglas.
He aquí cómo precisar su pregunta. En general, un sistema formal consiste en:
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Un lenguaje formal $L$ (conjunto de frases)
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Un conjunto de reglas de inferencia (y axiomas, que son un tipo de regla de inferencia para este propósito)
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Una semántica, que proporciona un conjunto de modelos, o al menos un conjunto de funciones de valoración de $L$ a $\{T,F\}$
Completitud del sistema dice que si se envía una sentencia a $T$ por cada función de valoración en la semántica, entonces esa frase es demostrable a partir de las reglas de inferencia.
En el teorema de incompletitud, cuando dice "verdadero", quiere decir "verdadero en un modelo particular, distinguido y estándar". No quiere decir "verdadero en todos los modelos" porque toda teoría de primer orden es completa en ese sentido, con sus reglas de inferencia y su semántica habituales.
En su marco, podría tomar $L$ para ser el lenguaje de ZFC mejorado con un predicado unario adicional $I$ . Para las reglas de inferencia, se toman los axiomas de ZFC, un axioma que dice $I$ sólo puede ser de una función $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ El sistema de la lógica de primer orden se basa en los axiomas que permiten demostrar que toda función elemental es integrable, y en las reglas de inferencia habituales de la lógica de primer orden. Para el modelo distinguido (función de valoración) se toma el modelo estándar de ZFC y se hace $I$ se mantienen todas las funciones integrables.
En esa configuración, hay muchas funciones $f$ para lo cual $I(f)$ es verdadera, y tal que se puede expresar $I(f)$ en el lenguaje en cuestión, pero donde sus reglas de inferencia no pueden probar que $I(f)$ retenciones. Por ejemplo, $\sin(x)$ es definible en ZFC, por lo que podría dejar que $f = \sin(x)$ . Sólo tienes que ser capaz de expresar $I(f)$ sin $f$ en el lenguaje de ZFC con el símbolo extra $I$ .
El siguiente problema es que se podría pensar en hacer las reglas de inferencia más fuertes, en un intento de demostrar que más funciones son integrables. En el contexto de la teoría de conjuntos, esto te llevará a cosas más interesantes, como la distinción entre definiciones extensionales e intensionales.
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¿Qué quiere decir con una "restricción adicional"?
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La "restricción adicional" implica aquí un axioma.
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¿Alguien conoce una teoría de primer orden donde se pueda expresar esto? En cualquier caso, "demostrable" no es algo que se pueda definir. Significa que una sentencia en el lenguaje de primer orden de su teoría se sigue de los axiomas de la teoría y del axioma lógico de primer orden. Suponiendo que haya una teoría de primer orden que capture lo que quieres decir arriba, un ejemplo de una frase que puede ser demostrable o no es "Toda integral puede expresarse como funciones elementales".
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Gracias por la corrección, William.
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En cuanto a la pregunta que hice en el comentario anterior, creo que se puede formalizar en la teoría de conjuntos o posiblemente en la aritmética de segundo orden. Probablemente, no se puede expresar en ninguna teoría de primer orden en la que el dominio sea los propios números reales.
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@Nikhil: El concepto de una afirmación "verdadera pero indemostrable" es un poco engañoso. En el contexto del teorema de incompletitud de Gödel para la aritmética de Peano, "verdadero" significa verdadero para los números naturales definidos por la aritmética de Peano de segundo orden, e "indemostrable" significa no demostrable a partir de los axiomas de de primer orden Aritmética de Peano. Esta idea no se extiende fácilmente a teorías más generales, porque puede que no tengamos un modelo distinguido con el que juzgar la verdad. [...]
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Por ejemplo, la teoría de grupos es una teoría de primer orden perfectamente buena. La ley conmutativa no es demostrable porque hay grupos no conmutativos; y tampoco podemos demostrar su negación, porque hay grupos conmutativos. Pero no podemos decir que es verdadera o falsa porque no tenemos un grupo específico en mente.
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@ Zhen: Sí, tenía la duda de qué sistema axiomático define la verdad y cuál determina la demostrabilidad. Gracias por la aclaración.