¿Cuándo la identidad aditiva no es el vector cero?

Question

Mi maestro mencionó crípticamente hoy que el vector cero no siempre es la identidad aditiva. Cuando me pidieron una aclaración, me dijeron "llegaremos".

Confirmó que siempre es 0 en matrices llenas de números reales, pero no puedo pensar o encontrar ninguna matriz, ya sea compleja o variable o lo que sea donde cualquier otra cosa funcionaría, o donde el vector cero no funcionaría.

Puede que sea media broma para mantenerme interesado, ¡pero seré un tío minero si no funciona!

No sé, ¿alguna idea?

Answer 1

Eso depende de lo que se entienda por vector cero.

Si quieres, puedes considerar $\mathbb{R}_+$ (el conjunto de números reales positivos) como un espacio vectorial, donde se define $x\oplus y = xy$ y $\lambda x = x^\lambda$ . Entonces la "identidad aditiva" es en realidad $1$ (pero probablemente debería llamarse vector cero en este extraño contexto).

Answer 2

Un espacio vectorial forma un grupo bajo adición:

1) Si $a,b$ son vectores, $a+b$ es un vector.

2) $(a+b)+c = a+(b+c)$ para los vectores $a,b,c$ .

3) $a+0 = 0+a = a$ por definición del vector cero $0$ (es decir, el vector cero es definido sea una identidad aditiva como en el axiomas del espacio vectorial ).

4) $a+(-a) = (-a) + a = 0$ es decir, existen inversos aditivos.

En un grupo, se puede demostrar fácilmente que una identidad aditiva es único (de ahí que digamos "la" identidad aditiva).

Así, el vector cero es la única identidad aditiva.

Answer 3

La dificultad estriba en no confundir el abstracto noción de un espacio vectorial con hormigón espacios vectoriales. ¿Qué quiero decir con esto?

La noción de un abstracto espacio vectorial

Bueno, si $0_\mathbb{V} \in \mathbb{V}$ es un elemento distinguido de un conjunto no vacío $\mathbb{V}$ , $\mathbb{K}$ un campo, y $\oplus : \mathbb{V} \times \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ y $\otimes : \mathbb{K} \times \mathbb{V} \to \mathbb{V}$ dos operaciones tales que $0_\mathbb{V}$ , $\oplus$ y $\otimes$ satisfacen los axiomas del espacio vectorial; entonces podemos llamar a la estructura algebraica $$ (\mathbb{V}, \oplus, \odot, 0_\mathbb{V}) $$ un abstracto $\mathbb{K}$ -espacio vectorial. Es abstracto en el sentido de que $\mathbb{V}$ , $\mathbb{K}$ , $\oplus$ , $\odot$ y $0_\mathbb{V}$ son marcadores de posición para hormigón objetos matemáticos. No obstante, queremos ser capaces de hablar con otros sobre los diferentes marcadores de posición, por lo que acordamos llamar al símbolo $\oplus$ adición de vectores el símbolo $\odot$ multiplicación escalar y el símbolo $0_\mathbb{V}$ identidad aditiva .

Suplemento : Para mostrar lo importante que es mantener las diferentes notaciones separadas, considere el combinación lineal $$ v = k_1 \odot v_1 \oplus k_2 \odot v_2 \oplus \ldots \oplus k_n \odot v_n = \bigoplus\limits_{i=1}^{n} k_i \odot v_i. $$ Entonces llamamos al símbolo $\bigoplus$ suma de vectores .

A hormigón espacio vectorial 1

Un ejemplo estándar de hormigón $\mathbb{R}$ -El espacio vectorial es $(\mathbb{R}, +, \cdot, 0)$ . En este ejemplo, adición de vectores , multiplicación escalar y identidad aditiva coinciden en realidad con los habituales adición , habitual multiplicación y el número cero respectivamente. Una combinación lineal de vectores $v_1,v_2,\ldots,v_n \in \mathbb{R}$ es $$ v = \sum\limits_{i=1}^{n} k_i \cdot v_i, $$ es decir, el suma de vectores coincide con el habitual suma .

A hormigón espacio vectorial 2

Otro ejemplo lo dio @mrf: Si se considera el hormigón $\mathbb{R}$ -espacio vectorial $(\mathbb{R}_{>0}, \cdot, \hat{},1)$ donde el símbolo $\hat{}$ denotará la exponenciación habitual, entonces adición de vectores , multiplicación escalar y identidad aditiva corresponden a los habituales multiplicación , habitual exponenciación y el número un respectivamente. Una combinación lineal de vectores $v_1,v_2,\ldots,v_n \in \mathbb{R}_{>0}$ es $$ v = \prod\limits_{i=1}^{n} (v_i)^{k_i}, $$ es decir, el suma de vectores coincide con el habitual producto .