Desigualdad simple pero difícil de demostrar que involucra integrales

Question

Demostrar que para cualquier función suave $\phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $\left|\frac{d\phi}{dx}\right|<1$ para todos $x$ en $(0,\pi)$ ,

$$\left(\int_0^\pi \cos(\phi(x)) \; dx\right)^2 + \left(\int_0^\pi \sin(\phi(x))\;dx\right)^2 > 4.$$

Answer 1

Su desigualdad dice $\left| \int_0^\pi e^{i\phi(x)}\ dx \right| > 2$ . De hecho, si $|\phi'| < 1$ tenemos $|\phi(x) - \phi(\pi/2)| < |x - \pi/2|$ para $0 < x < \pi$ Así que $$\left| \int_0^\pi e^{i\phi(x)}\ dx \right| \ge \text{Re}\ e^{-i \phi(\pi/2)} \int_0^\pi e^{i \phi(x)}\ dx = \int_0^\pi \cos(\phi(x)-\phi(\pi/2))\ dx > \int_0^\pi \cos(x - \pi/2)\ dx = 2$$ Aquí estoy usando los hechos que $\cos$ es par y es decreciente en $[0,\pi]$ . No hay suavidad de $\phi$ es necesario, sólo la diferenciabilidad.

De forma más general, si se sustituye $|\phi'| < 1$ por $|\phi'| < k$ donde $0 < k < 2$ la desigualdad se convertiría en $$\left|\int_0^\pi e^{i\phi(x)}\ dx \right| > \frac{2}{k} \sin\left(\frac{k \pi}{2}\right)$$