Demostrar que para cualquier función suave $\phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $\left|\frac{d\phi}{dx}\right|<1$ para todos $x$ en $(0,\pi)$ ,
$$\left(\int_0^\pi \cos(\phi(x)) \; dx\right)^2 + \left(\int_0^\pi \sin(\phi(x))\;dx\right)^2 > 4.$$
Su desigualdad dice $\left| \int_0^\pi e^{i\phi(x)}\ dx \right| > 2$ . De hecho, si $|\phi'| < 1$ tenemos $|\phi(x) - \phi(\pi/2)| < |x - \pi/2|$ para $0 < x < \pi$ Así que $$\left| \int_0^\pi e^{i\phi(x)}\ dx \right| \ge \text{Re}\ e^{-i \phi(\pi/2)} \int_0^\pi e^{i \phi(x)}\ dx = \int_0^\pi \cos(\phi(x)-\phi(\pi/2))\ dx > \int_0^\pi \cos(x - \pi/2)\ dx = 2$$ Aquí estoy usando los hechos que $\cos$ es par y es decreciente en $[0,\pi]$ . No hay suavidad de $\phi$ es necesario, sólo la diferenciabilidad.
De forma más general, si se sustituye $|\phi'| < 1$ por $|\phi'| < k$ donde $0 < k < 2$ la desigualdad se convertiría en $$\left|\int_0^\pi e^{i\phi(x)}\ dx \right| > \frac{2}{k} \sin\left(\frac{k \pi}{2}\right)$$
Esa solución es brillante. Aunque es claramente lógica, no consigo entender cómo la has conseguido. El uso de la fórmula de Euler parece obvio en retrospectiva, pero el resto parece venir de la nada. ¿Sería posible proporcionar alguna idea de lo que motivó esta solución, aunque sólo sea para satisfacer mi curiosidad?
Bueno, un ingrediente era comprobar el caso límite $\phi' = 1$ y ver que tienes la igualdad allí. Eso es útil porque significa que no puedes usar ninguna estimación que no sea ajustada en ese caso. El hecho de que $|z| = \text{Re}( e^{i\theta} z)$ para que sea adecuado $\theta$ es bastante estándar.
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Sólo una cuestión terminológica: un identidad dice que algo es igual a otra cosa. Esto es una desigualdad .
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@RobertIsrael Tienes razón... disculpas.