Clasificación de las singularidades de $\frac {z^{1/2}-1}{\sin{\pi z}}$

Question

Estoy tratando de clasificar las singularidades de $$\frac {z^{1/2}-1}{\sin{\pi z}}$$ donde $-\pi<\arg z<\pi$ .

Me confunde esto por el corte de la rama de $\sqrt z$ pero aquí está mi (mal) intento:

Las singularidades están en $z = n$ para $n \in \mathbb Z$ . Tenemos un punto de ramificación en $z=0$ por lo que se trata de una singularidad no aislada (no un simple polo, como casi dije). Cuando $z$ es un número entero negativo, la función ni siquiera está definida, así que supongo que no se consideran singularidades. Para $n=1$ es removible ya que $1$ es un simple cero del numerador y del denominador - la derivada de $z^{1/2}-1$ es $z^{-1/2}/2$ que es distinto de cero en $z=1$ así que debe ser un simple cero. ¿Es eso cierto? Entonces para $n>1$ sólo tenemos polos simples.

Answer 1

En cuanto a la raíz cuadrada, véase ¿Cuáles son las ramas de la función raíz cuadrada?

Así pues, consideremos la función $z^{1/2}$ . Aunque $0^{1/2}$ está por supuesto bien definido, debemos excluir $z = 0$ porque queremos obtener una función holomorfa (éstas se definen sólo en subconjuntos abiertos de $\mathbb{C}$ ).

Esto significa que la función (holomorfa)

$$f(z) = \frac{z^{1/2}-1}{\sin\pi z}$$

se define en $U = \mathbb{C} \backslash ((-\infty,0] \cup \lbrace 1,2, 3, ... \rbrace)$ . Las singularidades se encuentran en los puntos $n = 1,2,3,...$ . Todos sus argumentos sobre estos puntos son correctos.