¿Cómo tomar una parte real de una matriz compleja cambia los valores propios?

Question

Si $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ con valores propios $(\mu_1,\ldots,\mu_n)$, qué podemos decir acerca de los valores propios de $T = \Re(A)$; ¿vamos a llamarlos $(\lambda_1,\ldots, \lambda_n)$? ¿Sobre todo, tiene que el $|\lambda_i|\leq|\mu_i|$?

La última parte es para el valor propio más grande a través de un argumento de norma, pero realmente no puedo subir algo para los otros valores propios.

Answer 1

No eso no es cierto en general. Tomemos, por ejemplo $$ \begin{bmatrix}1 & -i\i & 1\end{bmatrix} $$

Esto tiene valores propios $0$ y $2$. La parte real es sólo la identidad y ha repetido valor propio 1.