¿cuando es un serie mala para el mejor equipo?

Question

Esta pregunta es inspirado por: Una serie más larga es mejor para un equipo mejor: se Puede ver esto en un vistazo?

También, obviamente inspirado en la NBA playoffs sucediendo ahora mismo. :)

Supongamos que dos equipos están jugando una serie de $2k-1$ los juegos, y el primer equipo para ganar $k$ juegos gana el global de la serie. (No juego puede terminar en un empate). Además, el equipo está "mejor" que el equipo B.

• Deje $A_i$ denotar el caso de que Un equipo gana el juego de $i$.

• Deje $A_{series}$ denotar el caso de que Un equipo gana la serie, es decir, Un wins $k$ o más juegos.

Si los resultados del juego son yo.yo.d., y $P(A_i) = p > 1/2$ para cualquier juego de $i$, luego de una serie más larga (mayor $k$) aumenta la probabilidad de ganar la serie, es decir, $P(A_{series})$ es una función creciente en $k$. Esto es intuitivamente obvia, y una prueba se puede encontrar en el enlace de arriba (a pesar de que el post pide una excelente pregunta re: ¿por qué un "evidente" el resultado requiere una algebraicamente complicado de la prueba).

Quiero saber bajo qué condiciones, es decir, bajo qué modelo de probabilidad, sería un no coinciden con ser MALO para el mejor equipo de A. tal vez algunos de la dependencia que codifica "reversión a la media" y/o (opuesto) "momentum"?

Lo he intentado

Mi $0$-ésimo intento: Si permitimos que la "fatiga" en la forma de la disminución de $P(A_i),$ , a continuación, una serie más larga, puede ser malo para Una, incluso cuando todos los $P(A_i) > 1/2.$ Un simple 3-juego ejemplo: si $P(A_1) = 1, P(A_2) = P(A_3) = 0.51$, siempre gana en un 1-juego de "serie" ($k=1$) pero B tiene una probabilidad ($0.49^2$) en un 3-el juego de la serie ($k=2$). @Henry en su respuesta dio una longitud infinita ejemplo. Así que estoy buscando algo donde las probabilidades marginales $P(A_i)$ son constantes (es decir, sin fatiga).

Mi 1er intento: vamos a $P(A_1) = p > 1/2$, y a partir de entonces cada juego de $i$ resultado = juego 1 resultado. Esto significa: (1) $P(A_i) = p > 1/2$ (aunque son dependientes), y, sin embargo, (2) una serie más larga daría ninguna ventaja ni desventaja) a Un equipo, porque $P(A_{series}) = p$, independientemente de $k$. Sin embargo, quiero un escenario donde una serie más larga, en realidad disminuye el $P(A_{series})$.

Mi 2do intento es algo complicado: los primeros 7 juegos ($k=4$) se reproducen de manera "normal" (me.yo.d.) pero, a continuación, los juegos de 8 y 9 siempre son ganadas por el perdedor de la mejor-de-primera-7 de la serie. No he trabajado de ello, pero mientras que esto puede dar un ejemplo en donde la $P(A_{series} | k = 4) > P(A_{series} | k = 5)$, creo que esto también implica que las probabilidades marginales $P(A_8), P(A_9) < 1/2$. Así que esto no es satisfactorio como un contraejemplo, ya que no sólo la $P(A_i)$ no son constantes, equipo de la realidad se convierte en el peor equipo en un sentido.

Mi 3er intento es un "quirúrgico ajustar" para el 2º intento: (1) si los primeros 7 juegos incluyen exactamente 4 victorias por Una, luego de los juegos de 8 y 9 son ganadas por el equipo B (con lo que B el ganador), pero (2) si los primeros 7 juegos tiene cualquier otro resultado, entonces los juegos de 8 y 9 son toco yo.yo.d. pero con un aumento de la $P(A_8)=P(A_9) = p' > p$. Mediante la restricción de la dependencia especial para un evento de pequeñas suficiente de probabilidad, y el equilibrio con $p' > p$ en el caso (2), creo que puedo manejar $P(A_8) = P(A_9) =p $. No he trabajado si $P(A_{series} | k = 4) > P(A_{series} | k = 5)$ para algunos la elección de $p, p'$. También, este contraejemplo es demasiado "artificial" para mi gusto.

Lo que busco es un modelo de probabilidad donde:

• Para cada juego de $i$, la probabilidad marginal $P(A_i)$ es el mismo, es decir,$\forall i: P(A_i) = p > 1/2$.

• Existe $k_0$ s.t. $P(A_{series} | k = k_0) > P(A_{series} | k = k_0 + 1)$.

  • Bono si esto es cierto para todos los $k_0$, o todo lo suficientemente grande $k_0$.

• Requisito estético :) - Cualquier dependencia es tan "simple" como sea posible, es decir, prefiero no tener algo como mi 3er intento (o incluso más complicada). Sé que este no es un requisito de matemáticas, y las personas pueden tener diferentes gustos... los comentarios sobre este punto son bienvenidos.

Answer 1

Para salvar a escribir, vamos a definir

• $p_k$ como la probabilidad de que Un Jugador gana el juego de $k$
• $q(j,k)$ como la probabilidad de que después de $k$ de los juegos, el Jugador a ha ganado exactamente $j$
• $r_{2k-1}=\sum_{j=k}^{2k-1} q(j,k)$ es la probabilidad de que el Jugador a ha ganado la mayoría de un número impar $2k-1$ juegos

así que tenemos la recurrencia $$q(j,k)= p_k \,q(j-1,k-1) +(1-p_k)\,q(j,k-1)$$ starting at $q(0,0)=1$ and $q(j,0)=0$ for $j \no =0$, and given $p_1,p_2,\ldots,p_k$ we can calculate all $q(j,k)$

You seem to want

• $p_k \gt \frac12$ and $r_{2k-1} \gt \frac12$ for all positive integer $k$ ya que el Jugador a es el mejor jugador
• $r_{2k-1} \gt r_{2k+1}$ para todos los enteros positivos $k$ sugerir Jugador Una de las posibilidades que empeoran con una serie más larga

Desde jugar a dos juegos de diferencia solamente a la serie, si el partido ya estaba casi incluso, creo $$r_{2k-1} - r_{2k+1} = (1-p_{2k})(1-p_{2k+1})q(k,2k-1) - p_{2k} p_{2k+1} q(k-1,2k-1)$$ and so for the longer series to be worse for the better player you want this to be positive and so $$\dfrac{(1-p_{2k})(1-p_{2k+1})}{p_{2k} p_{2k+1} } > \dfrac{q(k-1,2k-1)}{q(k,2k-1)}$$

One possible approach would be to set $p_{2k+1}=p_{2k}$ and then to choose $p_{2k}$ such that $$\frac12 < p_{2k} < \dfrac{1}{1+\sqrt{\frac{q(k-1,2k-1)}{q(k,2k-1)}}}$$ where the right hand side is greater than $\frac12$ since $q(k-1,2 k-1) < q(k,2k-1)$ because A is always better than B and so is always more likely to just win than to just lose

The following rather arbitrary example starts with $p_1=0.6$ and sets, using a weighted average from the inequality, $p_{2k+1}=p_{2k}=0.9\times\frac{1}{1+\sqrt{\frac{q(k-1,2 k-1)}{q(k,2k-1)}}}+0.1\times\frac12$. Esto ilustra el punto de que no es difícil de usar esta regla para crear una secuencia larga, que creo que cumple con todos sus puntos finales, y en particular el resultado de cada juego no depende de los resultados de los juegos anteriores

        Prob A          Prob A 
Game    wins this       winning series 
        game            if stop here 

1       0.6             0.6
2       0.5454592       
3       0.5454592       0.5950459
4       0.5288103       
5       0.5288103       0.5926991
6       0.5224735       
7       0.5224735       0.5911743
8       0.5189403       
9       0.5189403       0.5900499
10      0.5166238       
11      0.5166238       0.5891616
12      0.5149601       
13      0.5149601       0.5884287
14      0.5136932       
15      0.5136932       0.5878058
16      0.5126882       
17      0.5126882       0.5872645
18      0.5118665       
19      0.5118665       0.5867864
20      0.5111790       
21      0.5111790       0.5863584
22      0.5105929       
23      0.5105929       0.5859713
24      0.5100859       
25      0.5100859       0.5856180
26      0.5096418       
27      0.5096418       0.5852932
28      0.5092487       
29      0.5092487       0.5849928
30      0.5088976       
31      0.5088976       0.5847133
32      0.5085817       
33      0.5085817       0.5844522
34      0.5082954       
35      0.5082954       0.5842072
36      0.5080346       
37      0.5080346       0.5839765
38      0.5077955       
39      0.5077955       0.5837585
40      0.5075755       
41      0.5075755       0.5835519
42      0.5073722       
43      0.5073722       0.5833557
44      0.5071834       
45      0.5071834       0.5831688
46      0.5070077       
47      0.5070077       0.5829904
48      0.5068436       
49      0.5068436       0.5828199
50      0.5066899       
51      0.5066899       0.5826564
52      0.5065455       
53      0.5065455       0.5824996
54      0.5064096       
55      0.5064096       0.5823489
56      0.5062814       
57      0.5062814       0.5822038
58      0.5061601       
59      0.5061601       0.5820640
60      0.5060452       
61      0.5060452       0.5819290
62      0.5059361       
63      0.5059361       0.5817986
64      0.5058324       
65      0.5058324       0.5816725
66      0.5057337       
67      0.5057337       0.5815504
68      0.5056395       
69      0.5056395       0.5814320
70      0.5055495       
71      0.5055495       0.5813172
72      0.5054635       
73      0.5054635       0.5812058
74      0.5053811       
75      0.5053811       0.5810975
76      0.5053022       
77      0.5053022       0.5809922
78      0.5052264       
79      0.5052264       0.5808897
80      0.5051536       
81      0.5051536       0.5807899
82      0.5050836       
83      0.5050836       0.5806927
84      0.5050162       
85      0.5050162       0.5805979
86      0.5049512       
87      0.5049512       0.5805054
88      0.5048886       
89      0.5048886       0.5804151
90      0.5048282       
91      0.5048282       0.5803269
92      0.5047698       
93      0.5047698       0.5802407
94      0.5047133       
95      0.5047133       0.5801565
96      0.5046587       
97      0.5046587       0.5800740
98      0.5046059       
99      0.5046059       0.5799934
100     0.5045547       
101     0.5045547       0.5799144

Answer 2

Mi otra respuesta tuvo la probabilidad de que el Jugador a ganar un punto, dependiendo de la puntuación del juego, pero dependiendo del número de puntos disputados hasta el momento. En el ejemplo de esta respuesta tiene la probabilidad condicional de Un Jugador de ganar un punto, dependiendo de la puntuación del juego, pero la probabilidad incondicional de permanecer constante en el tiempo.

En este ejemplo se supone que la probabilidad de que Un Jugador gana un punto es $0.6$. Pero el Jugador a es sensible a la puntuación, especialmente después de un número par de juegos:

• Si después de un número par de juegos de $2k$, Un Jugador está perdiendo en general (a través de la auto-motivación) la probabilidad de que Una gana en el próximo juego de $2k-1$ $1$
• Si después de un número par de juegos de $2k$, los resultados son incluso entonces (debido a Jugador de asfixia o de congelación, y esto empeora con el tiempo) la probabilidad de que Una gana el próximo partido es $0.6^{k+1}$
• Si después de un número par de juegos de $2k$, Un Jugador es ganar, entonces (a través de la relajación) la probabilidad de que Una gana el próximo partido tiende a aumentar y pasa a ser $1-\frac{0.4-\left(1- 0.6^{k+1}\right)\mathbb{P}(\text{A tying after }2k\text{ games})}{\mathbb{P}(\text{A winning after }2k\text{ games})}$
• Si después de un número impar de juegos de $2k-1$, la probabilidad de que Una gana el próximo partido es $0.6$, no importa lo que la puntuación es en el momento

El efecto general es mantener la probabilidad de que Un Jugador gana un punto particular en $0.6$, pero, sorprendentemente, la probabilidad de que Un Jugador está por delante después de un número impar de juegos sigue cayendo (es decir, ganaría una serie de longitud), por debajo de $0.5$. Yo esperaría a ser posible extender el ejemplo, y tal vez el límite de la probabilidad de que Una gana una larga serie es poco más de $0.4729$

Games   Prob A is   Prob        Prob A is   Prob A wins Prob A wins Prob A wins
played  losing      series      winning     next game   next game   next game 
so far  series      tied        series      if behind   if tied     if ahead
0       0           1           0                       0.6        
1       0.4                     0.6         0.6                     0.6
2       0.16        0.48        0.36        1           0.36        0.742222222
3       0.4672                  0.5328      0.6                     0.6
4       0.18688     0.38656     0.42656     1           0.216       0.772747187
5       0.48994304              0.51005696  0.6                     0.6
6       0.195977216 0.351566124 0.452456660 1           0.1296      0.792252266
7       0.501980370             0.498019630 0.6                     0.6
8       0.200792148 0.334642831 0.464565021 1           0.07776     0.803302033
9       0.509413153             0.490586847 0.6                     0.6
10      0.203765261 0.325848417 0.470386322 1           0.046656    0.810040466
11      0.514410894             0.485589106 0.6                     0.6
12      0.205764358 0.321140653 0.473094989 1           0.0279936   0.814309532
13      0.517915128             0.482084872 0.6                     0.6
14      0.207166051 0.318607172 0.474226777 1           0.01679616  0.817082862
15      0.520421846             0.479578154 0.6                     0.6
16      0.208168739 0.317259969 0.474571292 1           0.010077696 0.818915974
17      0.522231458             0.477768542 0.6                     0.6
18      0.208892583 0.316564635 0.474542781 1           0.006046618 0.820143698
19      0.523543073             0.476456927 0.6                     0.6
20      0.209417229 0.316225505 0.474357266 1           0.003627971 0.820975122
21      0.524495478             0.475504522 0.6                     0.6