¿Un ejemplo de espacio topológico compacto que no sea la imagen continua de un espacio compacto de Hausdorff?

Question

La definición de la topología compacta-abierta difiere ligeramente según se trabaje en el contexto de espacios topológicos generados de forma compacta o de espacios topológicos arbitrarios.

Si $X$ y $Y$ son espacios topológicos, entonces la topología compacta-abierta sobre el conjunto de funciones continuas $C(X,Y)$ tiene, como sub-base, subconjuntos de la forma $V(K,U)$ donde $K$ es un subconjunto compacto de $X$ , $U$ es un subconjunto abierto de $Y$ y $V(K,U):= \{f\in C(X,Y)\ \vert \ f(K)\subseteq U\}$ .

Cuando se trabaja con espacios topológicos generados de forma compacta, esta definición se modifica para permitir únicamente conjuntos compactos $K$ que son la imagen de un espacio compacto de Hausdorff (véase https://en.wikipedia.org/wiki/Compact-open_topology ).

Esto sugiere que no todo espacio compacto es la imagen continua de un espacio compacto de Hausdorff. ¿Cuál es un ejemplo de tal espacio?

Answer 1

Esta extensión de Künzi y van der Zypen parece de interés. Menciona de pasada (observación 3, página 3) una referencia

Stone, A.H.: Hausdorff compacto y compacto, en: Aspects of Topology, pp. 315-324, London Math. Soc., Lecture Note Ser. 93, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1985.

donde supuestamente se demuestra que un espacio compacto no tiene por qué ser la imagen continua de un espacio compacto $T_2$ espacio, basado en un teorema

Si $Y$ es KC y compacto, $f: X \to Y$ es onto y continua con $X$ Hausdorff compacto, entonces $Y$ es Hausdorff.

Supongo, pero no tengo acceso a la referencia, que este teorema se muestra en el documento de Stone. Encontré la prueba (no tan difícil) en este documento (lema 1)

Entonces $\alpha(\mathbb{Q})$ la extensión de Alexandroff de $\mathbb{Q}$ siendo un ejemplo bien conocido de un espacio compacto KC pero no Hausdorff (ver Contraejemplos en Topología), debe ser un ejemplo, basado en este teorema.

También el ejemplo de van Douwen mencionado en este documento de un espacio KC compacto contable anti-Hausdorff (todos los conjuntos abiertos no vacíos se intersecan) (también secuencial y US) es un ejemplo de este tipo.

Answer 2

Henno Brandsma ya ha respondido a la pregunta. Voy a dar una prueba elemental de que $Y = \alpha(\mathbb{Q})$ no es la imagen continua de un espacio compacto de Hausdorff. En cuanto a la compactación de Alexandroff, véase Compactación de Alexandroff: extensión de funciones continuas . Se obtiene de $\mathbb{Q}$ al adosar un "punto en el infinito" $\infty$ y definiendo los barrios abiertos de $\infty$ como complementos de subconjuntos compactos de $\mathbb{Q}$ . Todos los demás conjuntos abiertos en $Y$ son sólo los subconjuntos abiertos de $\mathbb{Q}$ . Esto hace que $\mathbb{Q}$ (con su topología original) un subespacio abierto de $Y$ .

$Y$ es un no-Hausdorff $T_1$ -(es decir, todos los puntos son cerrados). Supongamos que existe una suryección continua $f : X \to Y$ definido en un espacio compacto de Hausdorff $X$ . Los conjuntos cerrados $f^{-1}(0)$ y $f^{-1}(\infty)$ tienen vecindades abiertas disjuntas $U$ y $V$ en $X$ (los espacios compactos son normales). Definir $A = X \backslash U$ , $B = X \backslash V$ . Son subconjuntos compactos de $X$ para que $f(A)$ y $f(B)$ son subconjuntos compactos de $Y$ . Desde $Y$ es un espacio KC (es decir, todos los subconjuntos compactos son cerrados), $f(A)$ está cerrado en $Y$ para que $A' = f(A) \cap \mathbb{Q}$ está cerrado en $\mathbb{Q}$ . $B' = f(B)$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{Q}$ . Tenemos $A' \cup B' = \mathbb{Q}$ y $0 \notin A'$ . Por lo tanto, $\mathbb{Q} \backslash A'$ es una vecindad abierta de $0$ en $\mathbb{Q}$ que está contenida en el compacto $B'$ . Esto es una contradicción ya que $0$ no tiene barrios compactos.

En aras de la exhaustividad, demostremos que $Y$ es un espacio KC. Dejemos que $Z \subset Y$ ser compacto. Si $\infty \notin Z$ entonces $Z$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{Q}$ por lo que su complemento en $Y$ está abierto. Considere el caso $\infty \in Z$ . Supongamos que $Z$ no está cerrado en $Y$ . Entonces $Z' = Z \cap \mathbb{Q}$ no está cerrado en $\mathbb{Q}$ . Elija $x \in \overline{Z'} \backslash Z'$ y una secuencia $(x_n)$ en $Z'$ convergiendo a $x$ . El conjunto $K = \lbrace x \rbrace \cup \lbrace x_1, x_2, ... \rbrace$ es compacto. Podemos suponer que cada $x_n$ tiene un barrio abierto $U_n$ tal que $x_m \notin U_n$ para $m > n$ (construir una subsecuencia si es necesario). Entonces el $U_n$ y $Y \backslash K$ forman una cubierta abierta de $Z$ . Por construcción no puede tener una subcubierta finita, lo cual es una contradicción.

Los argumentos anteriores siguen siendo válidos si $\mathbb{Q}$ se sustituye por cualquier espacio metrizable no localmente compacto $M$ .