Cardinalidad del conjunto de funciones integrables Riemann en [0,1]

Question

¿Cuál es la cardinalidad del conjunto de $\mathcal{R}[0,1]$ de todos los Riemann integrable funciones reales en [0,1]?

Espero que se se $2^\mathfrak{c}$. Una función es Riemann integrable si y sólo si es continua en casi todas partes, y limitada. Dado un conjunto de medida de 0 pueden ser innumerables, supongo que uno puede construir $2^\mathfrak{c}$ subconjuntos de a $[0,1]$ que tiene medida 0, y sin embargo son discontinuidad conjuntos de funciones reales. Pero luego me doy cuenta de que puede ser medida cero establece que nunca se discontinuidad conjuntos de una función real. Por lo tanto, estoy atascado en este punto y no tienen idea de cómo proceder.

Answer 1

Su conjetura es correcta. El truco está en no preocuparse por lo que el conjunto exacto de discontinuidad es pero en su lugar acaba de encontrar una familia de conjuntos que sólo puede ser discontinua en algunos innumerables conjunto de medida cero. Por ejemplo, si $C$ es el conjunto de Cantor y $A\subseteq C$ es cualquier subconjunto, la función característica de $A$ es Riemann integrable (ya que es continua por lo menos en todas $[0,1]\setminus C$). Hay $2^{\mathfrak{c}}$ tales subconjuntos, y tan hay $2^{\mathfrak{c}}$ Riemann integrables funciones.