Un grupo de orden 20

Question

Permita que$G$ sea un grupo de orden$20$ y su ecuación de clase esté dada por$$1+4+5+5+5$ $

Mi pregunta es si Sylow -$2$ subgroup of$G$ es normal o no.

Según el teorema de Sylow, sabemos que el subgrupo Sylow -$2$ será normal si y solo si solo hay un subgrupo Sylow -$2$ dentro de$G$. El teorema de Sylow dice que el número Sylow -$2$ subgroup es$2k+1$ donde$2k+1$ divide$5$. Solo$1$ y$5$ son posibles. Cómo decidir cuál será el caso aquí.

¡Gracias!

Answer 1

Supongamos, por medio de la contradicción, que no es normal que un $2$-subgrupo de Sylow $D$.

Si $D$ es cíclico, entonces tiene exactamente una involución, de esta forma, a continuación, una clase conjugacy hecho de un elemento, que no aparece en la clase de ecuación. ("$1$" En la clase ecuación ya está tomado por la identidad.)

Este argumento muestra que no hay ningún subgrupo normal de orden $2$.

Si $D$ es un Klein cuatro grupos, tiene exactamente tres involuciones, que sería entonces el rendimiento de una clase conjugacy de orden $1$ o $3$, de nuevo no hay.

Answer 2

Por Sylow, usted puede encontrar fácilmente que hay una Sylow $5$-subgrupo, por lo que la única Sylow $5$-subgrupo, decir $P$, es normal en su grupo de $G$.

Ahora si tu Sylow $2$-subgrupo, decir $Q$, es normal, entonces debemos tener la $G$ es el producto directo de su Sylow $p$-subgrupos, de modo que $G = P \times Q$. Ahora $P$ orden $5$, por lo que es cíclico y $P \cong C_{5}$. Por otro lado, tenemos que $Q$ es $4$ por lo tanto $Q \cong C_{4}$ o $Q \cong C_{2} \times C_{2}$. Por lo tanto el único fin de $20$ grupos con una normal de Sylow $2$-subgrupo son $$ G \cong C_{4} \times C_{5} \cong C_{20} \quad\text{o}\quad G \cong C_{2} \times C_{2} \times C_{5} \cong C_{2} \times C_{10}. $$

El otro fin de $20$ grupos no son el producto directo de la Sylow $p$-subgrupos, de modo que no puede haber única (de ahí normal) Sylow $p$-subgrupos. No estoy seguro de lo que la clase ecuación es, pero si se puede utilizar para determinar las propiedades de su grupo, usted puede determinar si se trata de uno de los dos de arriba o no.