Minimizar una suma simétrica de fracciones sin cálculo

Question

Las herramientas de cálculo hacen que la minimización de$$\frac{(1-p)^2}{p} + \frac{p^2}{1-p}$ $ en el intervalo$(0,1/2]$ sea una tarea trivial. Pero dada la cantidad de simetría que hay en esta expresión, tenía curiosidad si se podían usar manipulaciones estilo olímpico (AM-GM, Cauchy Schwarz, et al) para minimizar esto, mostrar que está disminuyendo, o para mostrar que está limitado debajo por 1.

Answer 1

Esto es elemental:

ps

El mínimo se logra mediante el vértice de la parábola$$\frac{(1-p)^2}p+\frac{p^2}{1-p}=\frac{1-3p+3p^2-p^3+p^3}{p(1-p)}=\frac1{p(1-p)}-3.$, es decir,$p(1-p)$, como se puede ver al completar el cuadrado.

Answer 2

Por desigualdad de reordenamiento asumiendo wlog$p\ge(1-p)$

ps

con igualdad para

ps

Answer 3

** Modifiqué esto para dar una prueba solo con métodos elementales, no se necesitan teoremas de desigualdad **

Las transformaciones simples llevan a $$ \ frac {(1-p) ^ 2} {p} + \ frac {p ^ 2} {1-p} = - 3 + \ frac {4} {1 - 4 (p-1) / 2) ^ 2} $$ Ahora es fácil ver que el mínimo global de$f(p)$ para$p \in (0 , \; 1/2]$ ocurre en$p = 1/2$.

Answer 4

$$ \begin{array}{rcll} \dfrac{(1-p)^2}{p} + \dfrac{p^2}{1-p} &=& \dfrac {(1-p)^3 + p^3} {p (1-p)} \\ &=& \dfrac {[(1-p) + p] [(1-p)^2 - p(1-p) + p^2]} {p (1-p)} \\ &=& \dfrac {(1-p)^2 + p^2} {p (1-p)} - 1 \\ &\ge& \dfrac {\left[ \frac1{\sqrt2} (1-p) + \frac1{\sqrt2} p \right]^2} {p (1-p)} - 1 &\text{Cauchy-Schwarz} \\ &=& \dfrac 1 {2 p (1-p)} - 1 \\ &=& \dfrac 1 {0.5 - 2 (p-0.5)^2} - 1 \\ &\ge& \dfrac 1 {0.5} - 1 \\ &=& 1 \end {array} $$

Both$\ge$ tiene igualdad en$p = 0.5$.

Answer 5

ps

ps

Como$$\dfrac{(1-p)^2}p+\dfrac{p^2}{1-p}=\dfrac{1-3p+3p^2}{p(1-p)}=K\text{(say)}$ es real, el discriminante debe ser$$\implies p^2(3+K)-p(3+K)+1=0$

ps

$p$% max$\ge0$

o$$0\le(K+3)^2-4(K+3)=(K+3)(K-1)\implies$ min$K\ge$

Pero observe que$(1,-3)$