Pregunta sobre el unknot y rejilla en $\Bbb R^3$

Question

Tenga en cuenta la red de $\Bbb R^3$ que pasa por los puntos de $\Bbb Z^3$:

$${(x,y,z)\in\Bbb R^3:\text{ at least two of }x,y,z\text{ are integers}}.$$

Mi pregunta es si es posible incrustar el unknot en esta cuadrícula para que el producto de tres proyecciones $\Bbb R^3\rightarrow \Bbb R^2$ son gráficos no los ciclos, es decir, árboles.

Sólo he encontrado a incrustaciones donde sólo dos de las tres proyecciones son árboles, por lo que esto puede ser falso, pero todavía no sé.

Cualquier sugerencia o ideas son realmente apreciadas.

Answer 1

Este rompecabezas apareció en Matemática-Mente Dobladores, por Peter Winkler, una colección de interesantes rompecabezas matemáticos. Su rompecabezas (sin la red de restricción) fue en el capítulo "serios Retos," y la mayoría de los puzzles son bastante duro ya! Hay una excelente discusión de la historia del problema en ese libro, y también en la introducción de la ponencia: https://arxiv.org/pdf/1507.02355.pdf.

De todos modos, aquí está la solución más simple, que aparece en la portada de la Winkler libro.

Aún más interesante, este blog da una solución donde la inclusión es un nudo de trébol: