Orden de campos finitos es $p^n$

Question

Deje $F$ ser un campo finito. .¿Cómo puedo probar que el orden de $F$ es siempre de orden $p^n$ donde $p$ es primo?

Answer 1

Deje $p$ ser la característica de un campo finito $F$. Entonces a partir de la $1$ orden $p$$(F,+)$, sabemos que $p$ divide $|F|$. Ahora vamos a $q\neq p$ ser cualquier otro primer dividiendo $|F|$. Luego por la del Teorema de Cauchy, existe un elemento $x\in F$ cuyo orden en $(F,+)$$q$.

A continuación,$q\cdot x=0$. Pero también tenemos $p\cdot x=0$. Ahora desde $p$ $q$ son relativamente primos, podemos encontrar enteros $a$ $b$ tal que $ap+bq=1$.

Por lo tanto $(ap+bq)\cdot x=x$. Pero $(ap+bq)\cdot x=a\cdot(p\cdot x)+b\cdot(q\cdot x)=0$, dando $x=0$, lo cual no es posible ya que $x$ tiene orden positivo en $(F,+)$.

Así que no hay primer distinta de $p$ que se divide $|F|$.

Answer 2

1. Demostrar que los más pequeños de múltiples $m$ 1 que da cero tiene que ser una de las primeras. (De lo contrario no son divisores de $m$ que luego son divisores de cero.)

2. Demostrar que un campo es un espacio vectorial sobre un subcampo.

3. Contar los elementos de la esfera si la dimensión de este espacio vectorial es $n$.

Answer 3

Deje $F$ ser un campo finito. A continuación, el subyacente aditivo grupo de el campo (a la que denotamos por a $F^+$) tiene esta propiedad interesante:

Por cada dos no-identidad (es decir, no-cero) elementos $a$$b\in F^+$, hay un automorphism $\phi$ de aditivos de grupo tal que $\phi(a)=b$.

Esto puede verse examinando el mapa de $(x\mapsto ba^{-1}x)$.

Esto significa que el conjunto de automorfismos de a $F^+$ act transitivamente en $F^+$. Desde automorfismos permutar los elementos de la misma orden, podemos concluir que cada elemento de a $F$ tiene el mismo orden.

Pero finito, grupo en el que todos los no-identidad de los elementos tienen el mismo orden es necesariamente un $p$-grupo de tal forma que cada elemento de primer orden. Esto puede ser demostrado por Cauchy Teorema.

Supongamos que el orden de $F^+$ tenía dos distintos factores primos $p$$q$. A continuación, $F^+$ contienen un elemento de orden $p$ y otro elemento de orden $q$ del Teorema de Cauchy. Esto se contradice con que cada elemento tiene la misma orden. De modo que el orden de $F$ es de hecho un primer poder. Cauchy Teorema implica que $F$ tiene un elemento de orden $p$, por lo que todos los elementos tienen el fin de $p$ por la hipótesis.

Por eso, $F$ deben ser de primer potencia fin de $p^n$, y tenemos que $px=0$ todos los $x\in F$.