Evaluar

Question

<h3>Problema</h3> <p>Evaluar %#% $ #%</p> <h3>Mi solución</h3> <p>Observe que $$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{n+n^2+n^3+\cdots +n^n}{1^n+2^n+3^n+\cdots +n^n}.$$and %</p> <blockquote> <p>$$\lim_{n \to \infty}\frac{n+n^2+n^3+\cdots +n^n}{n^n}=\lim_{n \to \infty}\frac{n(n^n-1)}{(n-1)n^n}=\lim_{n \to \infty}\frac{1-\dfrac{1}{n^n}}{1-\dfrac{1}{n}}=1,$$</p> </blockquote> <p>Por lo tanto,\begin{align*}\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{n+n^2+n^3+\cdots +n^n}{1^n+2^n+3^n+\cdots +n^n}&=\lim_{n \to \infty}\frac{\dfrac{n+n^2+n^3+\cdots +n^n}{n^n}}{\dfrac{1+2^n+3^n+\cdots +n^n}{n^n}}\\&=\frac{\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n+n^2+n^3+\cdots +n^n}{n^n}}{\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1+2^n+3^n+\cdots +n^n}{n^n}}\\&=1-\frac{1}{e}.\end{align*}</p> <p><em>La solución arriba es necesario citar un límite común. ¿Hay otra más simple y más directa la solución?</em></p>

Answer 1

Vamos a demostrar que $$ \frac{1^n+2^n+\cdots+n^n}{n^n}\\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}-1}\etiqueta{$\star$} $$ Primero de todo, $\log (1-x)<-x$, para todos los $x\in(0,1)$ y por lo tanto $$ \log\left(1-\frac{k}{n}\right)<-\frac{k}{n}\quad\Longrightarrow\quad \left(1-\frac{k}{n}\right)^n<\mathrm{e}^{-k}, \quad \text{para todos los $n>k$} $$ y así $$ \frac{1^n+2^n+\cdots+n^n}{n^n}=\sum_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{n}\right)^n <\sum_{k=0}^{n-1}\mathrm{e}^{-k}<\sum_{k=0}^{\infty}\mathrm{e}^{-k}=\frac{1}{1-\frac{1}{\mathrm{e}}}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}-1}. $$ Por lo tanto $$ \limsup_{n\to\infty}\frac{1^n+2^n+\cdots+n^n}{n^n}\le \frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}-1}. \etiqueta{1} $$

Mientras tanto, para todos los $k\in\mathbb N$, $$ \frac{(n-k)^n}{n^n}=\left(1-\frac{k}{n}\right)^n\\mathrm{e}^{-k}, $$ y, por lo tanto, para cada $k\in\mathbb N$ fijo, $$ \frac{1^n+2^n+\cdots+n^n}{n^n}\ge \frac{(n-k)^n+(n-k+1)^n+\cdots+n^n}{n^n}\\=\left(1-\frac{k}{n}\right)^n+\left(1-\frac{k-1}{n}\right)^n+\cdots+\left(1-\frac{1}{n}\right)^n+1\a \mathrm{e}^{-k} +\mathrm{e}^{k+1}+\cdots+1=\frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{-k}}{\mathrm{e-1}}. $$ Por lo tanto, para todos los $k\in\mathbb N$, $$ \liminf_{n\to\infty}\frac{1^n+2^n+\cdots+n^n}{n^n}\ge \frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{-k}}{\mathrm{e-1}} $$ y así $$ \liminf_{n\to\infty}\frac{1^n+2^n+\cdots+n^n}{n^n}\ge \sup_{k\in\mathbb N}\frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{-k}}{\mathrm{e-1}}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e-1}} \etiqueta{2} $$ La combinación de $(1)$ & $(2)$, obtenemos $(\star)$.

Answer 2

Creo que el anterior intercalando métodos sólo son viables cuando ya sabes el resultado antes de abordar el problema. Voy a presentar un método a partir de cero.

Tenga en cuenta que para un caso especial de Faulhaber la fórmula, el numerador es igual a $$S=\sum^n_{k=1}k^n=n^n\sum^n_{k=0}\frac{B^+_k}{k!}\frac{n!n^{1-k}}{(n-k+1)!}$$

Es bien conocido que $$\frac{n!n^a}{(n+a)!}=1+o(\cdots)$$ as $n\to\infty$.

Por lo tanto, el límite requerido $$\frac{S}{n^n}\~ \sum^n_{k=0}\frac{B^+_k}{k!}=\frac1{1-e^{-1}}=\color{RED}{\frac{e}{e-1}}$$ by noting the generating function of Bernoulli numbers $$\frac{t}{1-e^{-t}}=\sum^\infty_{k=0}\frac{B^+_kt^k}{k!}$$

p.s. No sé cuál es el $o(\cdots)$ debe ser. Cualquier persona que sabe de ella por favor, edite mi respuesta.

También, no sé cómo escribir el símbolo para asintótica en Mathjax, por favor me ayude...

Answer 3

<h3>Una consulta de @Teddy38 respuesta</h3> <p>Sí, estamos de acuerdo que $$n+n^2+\cdots+n^n=\frac{n}{n-1}(n^n-1)$$ and $$\frac{n^{n+1}}{n+1}=\int_{0}^{n}x^n\ dx<1^n+2^n+\cdots+n^n<\int_{1}^{n+1}x^n\ dx=\frac{(n+1)^{n+1}-1}{n+1}.$$ Thus,we obtain $$\frac{n+1}{n-1}\cdot \frac{n^{n+1}-n}{(n+1)^{n+1}-1}<\dfrac{n+n^2+n^3+\cdots +n^n}{1^n+2^n+3^n+\cdots +n^n}<\frac{n+1}{n-1}\cdot\frac{n^n-1}{n^n}.$$Now, let's evaluate the limits of the both sides as $n # \to \infty.$ For the left side, we have $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{n+1}{n-1} \cdot \lim_{n \to \infty}\dfrac{1-\dfrac{1}{n^n}}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\cdot\left(1+\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n^{n+1}}}=\frac{1}{e}.$$ como por el lado derecho, tenemos $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{n+1}{n-1} \cdot \lim_{n \to \infty}\left(1-\dfrac{1}{n^n}\right)=1.$ $</p> <p>De los dos aspectos, sólo podemos concluir que, $$\varliminf_{n\rightarrow \infty}\frac{n+n^2+n^3+\cdots +n^n}{1^n+2^n+3^n+\cdots +n^n}\geq\frac{1}{e},$$and $$\varlimsup_{n\rightarrow \infty}\frac{n+n^2+n^3+\cdots +n^n}{1^n+2^n+3^n+\cdots +n^n}\leq 1.$$ That's to say, if the limit we want really exists, then $$\frac{1}{e}\leq\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{n+n^2+n^3+\cdots +n^n}{1^n+2^n+3^n+\cdots +n^n} \leq 1.$$This es cierto, pero no puede dar el valor exacto del límite que queramos.</p>