Cómo encontrar la inversa de la función $f(x)=\sin(x)\ln(x)$

Question

Mi amigo me pidió que lo solucionan, pero no puedo.

Si $f(x)=\sin(x)\ln(x)$, ¿qué es $f^{-1}(x)$?

No tengo ni idea de cómo encontrar la solución. Tratar de encontrar

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{\sin(x)}{x}+\ln(x)\cos(x)}$$

y tratan de resolver $x$ por sustitución de algunas y otras cosas, pero yo no.

¿Puede alguien ayudarme? Gracias a todos.

Answer 1

La función de falla de la línea horizontal de la prueba para uno, muy mal, de hecho. Uno a uno indica que, para cualquier $x$ $y$ en el dominio de la función, que $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$. que es para cada punto en el dominio no existe un único punto en el intervalo. Muchas funciones pueden ser hechos para ser uno a uno $(1-1)$ al restringir el intervalo sobre el cual se toman los valores de, por ejemplo, las funciones trigonométricas inversas y la función de raíz cuadrada (alguna incluso de la raíz). Que normalmente sólo tomar la raíz cuadrada positiva porque de lo contrario la función tiene dos respuestas y cada una de las x no tienen un único valor de y (La llamada " prueba de la línea vertical, que es por lo general si las funciones de falla de la línea horizontal de la prueba que, en general, no tiene un inverso). Si se hace un gráfico de esta función se parece mucho a una creciente forma senoidal esto no puede ser restringido únicamente en una manera que hace a la inversa definibles.

Answer 2

Esta función no es uno a uno, por lo que no se puede lo contrario lo.

Answer 3

De hecho, se tiene una infinidad de soluciones para cualquier valor real de $y=f(x)$ como puede verse en esta imagen por Alfa (nada especial ocurre cerca de $0$ debido a la equivalencia de a $x\ln(x)$) :

Usted puede encontrar soluciones numéricamente por iteraciones.

Por ejemplo, el uso de Newton-Raphson aplicado a $\log(x)\sin(x)=y$ llegamos la primera solución se ilustra (a la izquierda) en el caso de $y=1$ : $$x_{n+1}=x_n-\frac{\sin(x_n)\log(x_n)-y}{\cos(x_n)\log(x_n)+\sin(x_n)/x_n},\quad x_0=7$$ $$s_1\doteq 6.83056530451751861265\cdots$$

Answer 4

Creo que también debería tener en cuenta que, en general,$f(x)=g(x)*sin(x)$ no puede tener una inversa si$g$ no es una función periódica. Veamos tu ejemplo de$ln(x)sin(x)$. (Estoy usando el signo$<$ para representar mayor que o igual a) Since for$h(x)=sin(x)$,$-1<sin(x)<1$, luego para$f(x)=ln(x)sin(x)$ tenemos$-ln(x)<sin(x)<ln(x)$, y dado que$ln(x)$ está aumentando monótonamente, la sinusoide seguirá creciendo y no se repetirá.