Prueba de la desigualdad triangular en $(\mathbb{R}^n, d_p)$

Question

Tengo que demostrar la desigualdad del triángulo

$(|x_1 - z_1|^p + |x_2 - z_2|^p)^{1/p} \leq (|x_1 - y_1|^p + |x_2 - y_2|^p)^{1/p} + (|y_1 - z_1|^p + |y_2 - z_2|^p)^{1/p}$ para $p \geq 1$ en $\mathbb{R}^2$ .

Hay dos cosas que me confunden:

1) Cómo manipulamos la expresión, ya que no podemos utilizar la desigualdad triangular estándar $|x - z| \leq |x - y| + |y - z|$ . Estoy acostumbrado a utilizar un $|x - z| = |x - z + y - y | < |x - y| + |y - z|$ sin embargo, ¿sigue siendo válido teniendo en cuenta los poderes de $p$ ?

2) Por qué esta afirmación no es válida para $0 < p < 1$

Lo siento si estas preguntas son un poco básicas, sólo estoy buscando un poco de orientación no una solución. Cualquier ayuda será apreciada.

Gracias, Ash.

Answer 1

Aquí es donde Desigualdad de Minkowski es muy útil. Véase este (una pregunta sobre la desigualdad de Minkowski que utiliza la desigualdad de Hölder en la demostración).

Answer 2

En nuestra clase, para $p > 1$ utilizamos la desigualdad de Hölder $(\ast)$ $$ \sum_{k = 1}^{n} | a_k b_k| \le \left( \sum_{k = 1}^{n} | a_k |^p \right)^{\frac{1}{p}} \left( \sum_{k = 1}^{n} | b_k |^p \right)^{\frac{1}{p}}. $$ Sea $q := \frac{p}{p - 1} > 1$ y $a_i, b_i \in \mathbb{R}$ para todos $i \in \{1, \ldots, n\}$ . Entonces tenemos $\frac{1}{p} + \frac{1}{q}$ . $p$ y $q$ se dice que son conjugados de Hölder. \begin{align*} \sum_{i=1}^n|a_{i}+b_{i}|^p & =\sum_{i=1}^n|a_{i}+b_{i}|\,|a_{i}+b_{i}|^{p-1} \\& \le \sum_{i=1}^n|a_{i}|\,|a_{i}+b_{i}|^{p-1} +\sum_{i=1}^n|b_{i}|\,|a_{i}+b_{i}|^{p-1} \\ & \overset{(*)}{\le} \left(\sum_{i=1}^n|a_{i}|^p\right)^{\frac 1p} \left(\sum_{i=1}^n|a_{i}+b_{i}|^{q(p-1)}\right)^{\frac 1q} + \left(\sum_{i=1}^n|b_{i}|^p\right)^{\frac 1p} \left(\sum_{i=1}^n|a_{i}+b_{i}|^{q(p-1)}\right)^{\frac 1q} \\& =\left( \left(\sum_{i=1}^n|a_{i}|^p\right)^{\frac 1p}+ \left(\sum_{i=1}^n|b_{i}|^p\right)^{\frac 1p}\right) \left(\sum_{i=1}^n|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{\frac 1q}, \end{align*} porque tenemos $(p - 1)q = p$ . Dividiendo por $\left(\sum_{i=1}^n|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{\frac 1q}$ y utilizando $1-\frac 1q=\frac 1p$ nos \begin{align} \left(\sum_{i=1}^n|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{\frac 1p}\le \left(\sum_{i=1}^n|a_{i}|^p\right)^{\frac 1p}+ \left(\sum_{i=1}^n|b_{i}|^p\right)^{\frac 1p}, \end{align} La igualdad triangular es trivialmente cierta, cuando $\sum_{i=1}^n|a_{i}+b_{i}|^{p}=0$ así que podemos ignorarlo aquí. Ahora configuremos $a_i := y_i-x_i$ y $b_i := z_i-y_i$ para obtener el resultado deseado.

Answer 3

(1) En general, no es cierto que $|x+y|^p \leq |x|^p + |y|^p$ cuando $p\gt 1$ Por ejemplo $x=y=1$ , $p=2$ . Entonces $|x+y|^p = |1+1|^2 = 4$ mientras que $|x|^p + |y|^p = 1^2 + 1^2 = 2$ . Así que no, no puedes utilizar ese "hecho" para la prueba, porque no es cierto. Realmente necesitas demostrar la desigualdad que se te da.

Si $x_1=z_1$ y $x_2=z_2$ no hay nada que hacer, así que podemos suponer que el lado izquierdo es distinto de cero.

Lo que quieres demostrar es esencialmente la desigualdad de Mikowski, muy parecida a la respuesta que Trevor ha enlazado.

En cuanto a por qué hay una diferencia tan esencial entre el caso $p\geq 1$ y el caso $0\lt p\lt 1$ la razón es que mientras que la función $y=x^p$ es convexo cuando $p\gt 1$ (y técnicamente también para $x=1$ ) no es así para $0\lt p\lt 1$ . Esto es lo que se esconde detrás de los problemas para $0\lt p\lt 1$ .