Cardinalidad del conjunto de todas las líneas rectas en $\mathbb R^2$

Question

<blockquote> <p>Encuentra la cardinalidad del conjunto de todas las líneas rectas en $\mathbb R^2$.</p> </blockquote> <p>Esto es lo que hice:</p> <p>Que $M$ ser el conjunto dado.</p> <p>$$M \sim\{y=ax+b, \ a,b\in \mathbb R \}\cup\{x=c, \ c\in\mathbb R \}$$</p> <p>Por lo tanto:</p> <p>$$|M|=|\{(a,b) \ a,b\in \mathbb R\}|+|\{c, \ c\in\mathbb R\}| = \frak c\cdot\frak c +\frak c =\frak c$$</p>

Answer 1

Otro enfoque es esto. Sea $S$ el conjunto de todas las líneas. Entonces uno puede construir un surjection $[0,2\pi)\times \Bbb R^2\to S$, como sigue: elija un punto en $\Bbb R^2$; y un ángulo y obtener una línea. Por supuesto cualquier línea puede obtener de esta manera. (Nota que esto no es una inyección!). Pero también tenemos una inyección $\Bbb R\to S$ tomando un número real $r$ a la línea horizontal $y=r$. Así, tenemos %#% $ #%