¿Existe una fórmula general para la integral $I_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n-1}x + \sin^{2n-3}x + ... + \sin x dx, n\in \mathbb{N}$ .

Question

$$I_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n-1}x + \sin^{2n-3}x + ... + \sin x dx, n\in \mathbb{N}$$

Estoy utilizando esta integral para formar parte de la respuesta a la pregunta de alguien, pero me cuesta encontrar una fórmula para esta integral (si es que existe).

Editar:

Creo que la fórmula para $J_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n+1}xdx$ es:

$J_{n} = \frac{2^{2n+1}n!(n+1)!}{(2n+2)!}$

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\int_{0}^{\pi/2}\sum_{k = 1}^{n}\sin^{2k - 1}\pars{x}\,\dd x = \int_{0}^{\pi/2}\sin\pars{x}\,{\sin^{2n}\pars{x} - 1 \over \sin^{2}\pars{x} - 1} \,\dd x\,\,\, \stackrel{\cos\pars{x}\ \mapsto\ x}{=}\,\,\, \int_{0}^{1}{1 - \pars{1 - x^{2}}^{n} \over x^{2}}\,\dd x \\[5mm] = &\ -1 + \int_{0}^{1}{1 \over x}\bracks{-n\pars{1 - x^{2}}^{n - 1}}\pars{-2x}\,\dd x = -1 + 2n\int_{0}^{1}\pars{1 - x^{2}}^{n - 1}\,\dd x \\[5mm] \stackrel{x^{2}\ \mapsto\ x}{=}\,\,\, &\ -1 + n\int_{0}^{1}x^{-1/2}\,\pars{1 - x}^{n - 1}\,\dd x = -1 + n\,{\Gamma\pars{1/2}\Gamma\pars{n} \over \Gamma\pars{1/2 + n}} = -1 + {\pars{-1/2}!\,n! \over \pars{n - 1/2}!} \\[5mm] = &\ {1 \over \ds{{n - 1/2 \choose n}}} - 1= \bbx{\ds{{2^{2n} \over \ds{{2n \choose n}}} - 1}} \end{align}

Se puede ver una prueba de la última identidad en una de mis respuestas anteriores .

Answer 2

Los términos de su integral pueden ser evaluados uno a uno \begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2n+1}x dx =\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \end{eqnarray*} Así que su integral se puede escribir como una suma \begin{eqnarray*} I_n = \sum_{i=0}^{n-1}\frac{(2i)!!}{(2i+1)!!} \end{eqnarray*}

Answer 3

PISTA: por integración por partes tenemos que

$$I_n:=\int(\sin x)^n\mathrm dx=-\cos x(\sin x)^{n-1}+(n-1)\int (\cos x)^2(\sin x)^{n-2}=\\=-\cos x(\sin x)^{n-1}+(n-1)\int (1-\sin x)^2(\sin x)^{n-2}=\\=-\cos x(\sin x)^{n-1}+(n-1)(I_{n-2}-I_n)$$

por lo que

$$I_n=\frac1n((n-1)I_{n-2}-\cos x(\sin x)^{n-1})\tag{1}$$

donde claramente $I_1=-\cos x$ et $I_0=x$ . Evaluar en $A:=[0,\pi/2]$ tenemos que $I_1|_A=1$ entonces porque (1) tenemos que $I_3|_A=2/3$ , $I_5|_A=\frac23\cdot\frac45$ y en general $$I_{2k+1}|_A=\frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}=2^k\frac{k!}{(2k+1)!!}=\frac{2^kk!(2k)!!}{(2k+1)!}=\\=\frac{4^k(k!)^2}{(2k+1)!}=\frac{4^kk!}{(2k+1)^\underline{k+1}}=4^kk!k^\underline{-k-1}$$

Por lo tanto,

$$\int_0^{\pi/2}\sum_{k=0}^n (\sin x)^{2k+1}\mathrm dx=\sum_{k=0}^{n}I_{2k+1}\big|_A$$

lo que no parece tener una forma cerrada de funciones elementales. De Wolfram Mathemathica obtengo una solución "cerrada" en términos de la función gamma

$$\begin{align}\int_0^{\pi/2}\sum_{k=0}^n (\sin x)^{2k+1}\mathrm dx&=\frac{2 \sqrt{\pi } n \Gamma (n+2)+3 \sqrt{\pi } \Gamma (n+2)-2 \Gamma \left(\frac{1}{2} (2 n+5)\right)}{2 \Gamma \left(\frac{1}{2} (2 n+5)\right)}\\&=\frac{\sqrt\pi(n+1)!}{\Gamma(n+3/2)}-1\end{align}$$