Factorial del cardenal infinito

Question

He estado pensando sobre el siguiente problema:

Deje $A$ ser un conjunto de cardinalidad $k$ y denotan $\sum_A$ el conjunto de todos los bijection de$A$$A$.

También denotar $k! = \mathrm{card}\left(\sum_A \right)$. Demostrar que $k!=2^k$.

Mi prueba consiste en encontrar un bijection $F:\sum_A\to P(A)$ que asocia a cada bijection de la izquierda para el conjunto de sus puntos fijos. A continuación, el resultado seguiría. ($P(A)$=el juego de poder de $A$).

Dado que esta prueba parece bastante fácil, me temo que eso está mal. Alguien que me ilumine? Muchas gracias!

Answer 1

Primero de todo, a menos que se limite a conjuntos infinitos esta afirmación es incorrecta. Es malo porque para $k=3$ tenemos $3!=6<9=3^2$.

Para conjuntos infinitos, asumiendo el axioma de elección, esto es cierto. Para ver por qué se nota que $f\colon A\to A$ significa que $f\subseteq A\times A$, lo $\Sigma_A\subseteq\mathcal P(A\times A)$.

Suponiendo que el axioma de elección $|A|=|A\times A|$ y, por tanto,$|\Sigma_A|\leq 2^k$. Usted todavía tiene que mostrar la otra dirección se mantiene así. Con el fin de mostrar que, usted necesita encontrar a $2^k$ distintos bijections de $A$ a sí mismo.

Sugerencia: Hay $2^k$ diferentes pares de $A_1,A_2\subseteq A$ tal que $\{A_1,A_2\}$ es una partición de a$A$$|A_1|=|A_2|$. Para cada par de definir una única $f\colon A\to A$ que envía a $A_1$ $A_2$y viceversa, a la conclusión de que la quería la igualdad de los cardenales.

Answer 2

Sugerencia:

• Cada en $A$ biyección es una función de $A$ $A$.
• Cada función de $A$ $A$ es una relación en $A\times A$.
• Una relación en $A\times A$ es sólo un subconjunto de $A\times A$.
• ¿Cuáles son la cardinalidad de $A\times A$ $A$ es infinita?