¿Probar que un anillo no está simplemente conectado?

Question

No tengo el análisis complejo a mi disposición, y sólo tengo un bajo nivel de conocimientos en topología, pero necesito demostrar que este espacio métrico (para cualquier real $r$ y $R$ con $r < R$ ) $$ X = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ r \leq x^2 + y^2 \leq R \}$$

con la métrica de Manhattan $d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = |x_1-x_2| + |y_1-y_2|$ no está simplemente conectado.

Ya he demostrado que el camino está conectado, y ahora tengo que demostrar que hay algunos puntos $P$ y $Q$ con dos caminos entre ellos, de manera que uno no pueda "transformarse" continuamente en el otro.

$ \ $

Lo que tengo hasta ahora es lo siguiente:

Tomo $P = (0, r)$ y $Q = (0, -r)$ con $f_0$ siendo un camino desde $P$ a $Q$ en el sentido de las agujas del reloj alrededor del radio del círculo $r$ y $f_1$ siendo casi lo mismo pero en sentido contrario a las agujas del reloj.

Ahora asumo que hay una función $g : [0, 1]^2 \to X$ tal que:

• $g(s, 0) = f_0 (s)$
• $g(s, 1) = f_1 (s)$
• $g(0, t) = P$
• $g(1, t) = Q$

Para obtener el resultado final, necesito demostrar que esta función no puede ser continua, pero por mi vida no puedo.

Para contextualizar, estos son los temas que se han visitado durante el curso, más o menos en orden de actualidad.

• Conectividad múltiple
• Conectividad simple
• Conectividad de la ruta
• Puntos interiores
• Puntos límite
• Conjuntos abiertos
• Compactación
• Espacios métricos completos
• Espacios métricos limitados
• Espacios métricos totalmente acotados
• Conjuntos cerrados
• Cierre de un espacio métrico
• Limitar los puntos
• Secuencias de Cauchy
• Convergencia
• Continuidad
• Equivalencia de espacios métricos
• Equivalencia métrica

Editar : Podría tener un argumento que funcione, aunque está lejos de ser riguroso. Podemos reducir $R$ para estar lo más cerca posible de $r$ como queramos, por lo que podemos restringir esencialmente el anillo a un círculo y así forzar que cualquier camino desde el lado izquierdo del círculo al lado derecho pase por $P$ o $Q$ .

Por lo tanto, la celebración de $s \in (0, 1)$ constante y variable $t$ debe producir un camino a través de $P$ o $Q$ para cualquier $s$ . Si para algunos $s$ pasa a través de $P$ y para algunos otros $s$ pasa a través de $Q$ , entonces debe haber $s_0$ tal que $\forall \epsilon >0 \ \exists \delta \leq \epsilon$ st. $s_0$ produce un camino a través de $P$ y $s_0 + \delta$ produce un camino a través de $Q$ .

Ahora podemos considerar el camino $g(s, \frac{1}{2})$ y observe que debe tener una discontinuidad en $s_0$ .

Consideremos ahora el caso en el que todos los $s$ producen caminos a través de una sola de $P$ o $Q$ . WOLOG: $P$ . Ahora, en $t = \frac{1}{2}$ , $s$ arbitrariamente cerca de $1$ están mapeados lejos de $Q$ pero $1$ siempre se asigna a $Q$ por definición, así que $g(s, \frac{1}{2})$ tiene una discontinuidad en $s=1$ . Por lo tanto, $g(s, t)$ no es continua.

Este argumento es definitivamente dudoso para mí, si nadie tiene su propio argumento (usando conceptos de nivel suficientemente bajo), entonces la crítica sobre lo anterior sería apreciada.

Answer 1

Supongamos que tiene un $g$ tal y como usted ha declarado.

Demuestre que, para cada $t \in [0,1]$ existe una función continua $\theta_{t} : [0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $\theta_{t}(0)=-\pi/2$ y tal que $g(s,t)=|g(s,t)|(\cos\theta_{t}(s),\sin\theta_{t}(s))$ . (Conectividad de $[0,1]$ puede ser útil). A continuación, demuestre que $\theta_{t}$ es única por la conectividad de $[0,1]$ . Utilizar contornos simples y conocidos para $f_{0}$ y $f_{1}$ con el fin de organizar $\theta_{0}(1)=\pi/2$ y $\theta_{1}(1)=-3\pi/2$ . Demuestre que, para un $s \in [0,1]$ , $\theta_{t}(s)$ es una función continua de $t$ (a causa de la homotopía,) y observe que $\theta_{t}(1)$ tiene valores posibles $\pi/2\pm 2n\pi$ para $n=0,1,2,3,\ldots$ . Utilizar la conectividad de $[0,1]$ para llegar a una contradicción.

Answer 2

Una pista: Calcular la integral de la trayectoria $$ \int\frac{x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x}{x^2+y^2}\tag{1} $$ a lo largo de los dos caminos de $(\sqrt{rR},0)$ a $(-\sqrt{rR},0)$ parametrizado por $(\sqrt{rR}\cos(\theta),\sqrt{rR}\sin(\theta))$ para $\theta\in[0,\pi]$ y $\theta\in[0,-\pi]$ .

Utilice Teorema de Green para demostrar que, en cualquier contorno cerrado que sea la diferencia de dos trayectorias vecinas dentro del anillo, la integral en $(1)$ es $0$ . Por lo tanto, si se puede deformar continuamente una trayectoria a otra dentro del anillo, el cambio de la integral a lo largo de las trayectorias sería $0$ .

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Un corolario simple del Teorema de Green es que si una región es simplemente conectada, y $$ \frac{\partial}{\partial x}F(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}G(x,y)\tag{2} $$ en cada punto de esa región, entonces, sobre cualquier trayectoria cerrada $\gamma$ en esa región, $$ \int_\gamma F(x,y)\,\mathrm{d}y+G(x,y)\,\mathrm{d}x=0\tag{3} $$