Permita que$X$ sea una variable aleatoria con valores en$\mathbb Z_{\geq0}$. Muestra esa $E[X]=\sum_{k=0}^\infty P[X>k]$

Question

Deje $X$ ser una variable aleatoria con valores en $\mathbb Z_{\geq0}$. Mostrar que $E[X]=\sum_{k=0}^\infty P[X>k]$.

La pregunta es tomado de Introducción a los Modelos de Probabilidad, 10ª Ed. (Ross, pg. 91).

El intento. Deje $X=\sum_{k=1}^\infty X_k$, con

\begin{equation}X_k=\begin{cases}1 & \text{when }X\leq k \\ 0 & \text{when }X>k\end{casos}\end{equation}

Desde $E[X_k]=P[X\leq k]$,

$$E[X]=\sum_{k=1}^\infty E[X_k]=\sum_{k=1}^\infty P[X\leq k]=\sum_{k=1}^\infty \left(1-P[X>k]\right)$$

Y en este punto estoy en una pérdida en cuanto a cómo debería obtener el resultado.

Intento 2. Siguiente drhab de la ayuda, he reformulado la definición de $X$ en términos de $X_k$. Utilizando el mismo $X_k$ (por la brevedad de este post), vamos a $X=\sum_{k=0}^\infty(1-X_k)$. Entonces

$$E[X]=\sum_{k=0}^\infty E[1-X_k]=\sum_{k=0}^\infty(E[1]-E[X_k])=\sum_{k=0}^\infty(1-P[X\leq k])=\sum_{k=0}^\infty P[X>k]$$

Creo que esto es correcto ahora.

Answer 1

Sugerencia :

¿Realmente tenemos$X=\sum_{k=1}^{\infty}X_k$?

Si, por ejemplo,$X=3$, entonces$X_1=0=X_2$ y$X_k=1$ si$k\geq3$.

Answer 2

Sugerencia : comience con la definición:$$\mathbb{E}[X] = \sum\limits_{\{x: p_x > 0\}}xp_x$ $ donde uso$p_x = \mathbb{P}(X = x)$.

Darse cuenta de:

$$\sum\limits_{x=0}^{n}xp_x = 1p_1 + 2p_2 + \cdots + np_n\text{.}$ $ Agrupe estos términos de la siguiente manera:$$\sum\limits_{x=0}^{n}xp_x = 1(p_1 + p_2 + \cdots + p_n) + 1(p_2 + p_3 + \cdots + p_n) + 1(p_3 + \cdots + p_n)+ \cdots + p_n$ $ resultando en$$\sum\limits_{x=0}^{n}xp_x = 1(1-p_0)+1(1-p_0-p_1)+1(1-p_0 - p_1-p_2) + \cdots + 1(1-p_0 - \cdots - p_{n-1})\text{.}$ $ ¿Cuáles son esos términos rodeados por$()$?

Ahora toma$n \to \infty$.