Deje $G$ ser un grupo y vamos a $V$ ser un complejo espacio vectorial que es un representación de $G$. Vamos a escribir la (a la izquierda) la acción de $g\in G$ en $v\in V$ $gv$.
El doble espacio vectorial de $V$ es el conjunto de los lineales de los mapas de $V$ a $\mathbb{C}$, y está escrito como $V^*$. Voy a usar la notación de $(\phi,v)$ a la media de $\phi(v)$ si $\phi\in V^*$$v\in V$.
La doble representación de $V$ se define como el espacio vectorial $V^*$ con el (derecho) $G$-acción $(\phi g,v):=(\phi,gv)$$\phi\in V^*$, $v\in V$ $g\in G$.
Una representación de $G$ es irreducible si la única $G$-invariante subespacios son el subespacio cero o todo espacio vectorial.
Puedo demostrar que si $V^*$ es una representación irreducible, entonces también lo es $V$. De hecho, si $W$ $G$- subespacio invariante de $V$, entonces su annihilator $W^\perp=\{\phi\in V^*\colon w\in W\implies (\phi,w)=0\}$ es una $G$-subespacio invariante de $V^*$, lo $W^\perp=V^*$, lo que implica claramente $W=0$ o $W^\perp=0$, lo que (por tocar el violín alrededor con una base de Hamel) los rendimientos $W=V$.
No a la inversa? Es decir, si $V$ es irreductible, debe $V^*$ también se irreductible?
Si $\dim V<\infty$ $V^{**}$ es equivalente a $V$, así que la respuesta es sí en este caso. Pero no sé qué sucede si $\dim V=\infty$.
