Complejo Análisis de la Pregunta acerca de los cortes de ramas

Question

Estoy teniendo problemas con la comprensión de cómo las cortes de ramas de trabajo. Por ejemplo, la función $f(z)= \sqrt{z}$ has a branch cut where you reject the negative real axis. But how do you define the output so that the function is 1-1 and onto? For example what is $f(1 + i)$? And $f(1-i)$?

También hace la función que contiene la rama de corte tiene que ser analítico?

Answer 1

Es más fácil entender la plaza principal de la raíz, si usted escribe los números complejos en coordenadas polares, es decir, $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ de $r\ge 0$ y real $\theta$ en lugar de $a+ib$ real $a$$b$.

Para encontrar (el principal valor de) $\sqrt z$, escribir $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ $\theta$ elegido en $(-\pi,\pi]$. Entonces $$\sqrt z = \sqrt r ( \cos\frac\theta 2 + i\sin\frac\theta 2 )$$

Así, desde la $1+i = \sqrt 2(\cos\frac\pi4 + i\sin\frac\pi4)$ obtenemos $\sqrt{1+i} = \sqrt[4]2(\cos\frac\pi8 + i\sin\frac\pi8)$ -- cuyo valor ordinario coordenadas no me importa a crear, pero se puede leer de inmediato de la expresión que se encuentra 22½° sobre el eje real positivo y sobre 1.19 desde el origen.

Tenga en cuenta que la función así definida pasa a ser de 1-1 (aunque esto es más por accidente que por diseño), pero no en. Su valor nunca se encuentra a la izquierda del eje imaginario.

Por último: normalmente se habla de cortes de ramas sólo cuando estamos hablando de funciones analíticas. No hay nada que formalmente nos impide definir un no-analítica de la función que pasa a tener una rama cortada, pero esto generalmente no se considera especialmente interesante situación: los no-funciones analíticas que por lo general es más útil considerar como funciones en $\mathbb R^2$ en lugar de en $\mathbb C$.