Demostrando que $f:(0,2\pi]\to S^1$ no es un homeomorfismo

Question

Quiero demostrar que $f:(0,2\pi]\to S^1$ definido por $t\to (\sin t, \cos t)$ no es un homeomorfismo. Lo haré demostrando que su inversa no es continua.

La inversa se define por $(\sin t, \cos t)\to t$ . Así que en $(0,1)$ queremos tener $\lvert 2(1-\cos t)\rvert <\delta \Rightarrow \lvert t-2\pi\rvert<\epsilon$ para cualquier $\epsilon$ . Si tomamos $\epsilon=\pi/2$ No importa lo cerca que esté $\cos t$ y $1$ son siempre habrá $t$ 's cerca de $0$ . Así que $f^{-1}$ no es continua.

¿Qué le parece? ¿Hay algún error?

Answer 1

Su prueba es la correcta, pero podría haber ahorrado algo de trabajo:

$S^1$ es compacto, $(0,2\pi]$ no lo es. Por lo tanto, imposible de ser homeomórficos.

Esto no sólo demuestra que $f$ no es un homeomorphism, pero también que ningún otro mapa de $(0,2\pi]\rightarrow S^1$ puede ser nunca un homeomorphism.

Nota: Para ampliar un poco en este comentario:

Si $A$ es compacto y $B$ no es compacto, entonces no puede existir un homeomorphism $f:B\rightarrow A$, debido a la inversa de la $f^{-1}$ tendría un mapa de la no-espacio compacto $B$ sobre el espacio compacto $A$. Que es imposible, por lo $f^{-1}$ no puede ser continua.

Answer 2

Intuitivamente, como $(\cos t,\sin t)$ pasa por el punto de $(1,0)$ sobre el círculo, a continuación, $t$ salta abruptamente de $0$ $2\pi$o vice-versa, por lo que tiene una discontinuidad de salto.

Su $\varepsilon$-$\delta$ la prueba está a la derecha.

Uno también puede decir esto: en una función continua (en este caso $f^{-1}$), la inversa de la imagen de cada conjunto abierto es abierto. Con esta función, la inversa de la imagen del conjunto abierto $$\left\{ (\cos t,\sen t) : 0\le t<\frac{1}{10} \right\}$$ es un subconjunto del círculo que no está abierto.

Answer 3

$S^1$ no puede ser homeomorfo a ningún subconjunto de la recta real. En efecto, $S^1$ menos un punto es conexo, mientras que cualquier conexo (intervalo) de $\mathbb{R}$ menos un punto de su interior no está conectado.