Masa del bosón en 2D y su (retardado) propagador

Question

Tengo el retraso propagador de una libre escalar campo en 1+1 dimensiones. En el interior del cono de luz, esto se parece a $J_0(m \sqrt(t^2-x^2))$, $J$ siendo una función de Bessel. Cuando me saque la masa límite, sin embargo, esto va a una constante.

En 3+1 dimensiones, donde tengo una $J_1$ función como mi retraso propagador, esto va a 0. Intuitivamente esto tiene sentido para mí, ya que una masa de partículas sólo viaja a la velocidad de la luz. Pero, ¿qué es diferente en dos dimensiones, de manera que el predicador va a un número finito de constantes para $x \ne \pm t$?

Pregunta Extra: ¿cómo puedo obtener una expresión para el propagador en el cono de luz ($t= \pm x$)? Sé que va a divergir y voy a encontrar una función delta, pero ¿cómo puedo llegar exactamente?

Answer 1

Los propagadores de Bosones sin masa son sólo el cero en el interior de la lightcone si el número de dimensiones espaciales es impar y mayor que 1.

Usted puede determinar la forma exacta de la propagador de la luz de cono, incluso a pesar de que es divergente, y de hacerlo por cualquier número de dimensiones espaciales, de la siguiente manera:

El uso de esta expresión para obtener el propagador en d dimensiones espaciales a partir de la 1 dimensional caso,

$P_d{(t,r)}\ =\ \frac{1}{2\pi^a}\ \frac{\partial^un }{\partial (s^2)^a}\ P_1{(t,r)} $

donde $~P{(t,r)}~$ es el propagador, con $~~a=(d-1)/2~$ $~~s^2=t^2-r^2$

Para los verdaderos valores de Klein Gordon propagador esto se convierte en:

$P_d^{KG}{(t,r)}\ =\ \frac{1}{2\pi^a}\ \frac{\partial^a }{\partial (s^2)^a} \left\{\ {\cal H}(s^2) J_o(ms)\ \right\}$

Donde ${\cal H}(s^2)$ es la función escalón unitario, que es 1 en el interior de la luz de cono y 0 fuera de la luz de cono. En la misa, menos el caso de que esta se convierte en:

$P_d^{KG}{(t,r)}\ =\ \frac{1}{2\pi^a}\ \frac{\partial^a }{\partial (s^2)^a} \left\{\ {\cal H}(s^2)\ \right\}$

Los siguientes gráficos que muestran la masa menos casos de simulaciones numéricas:

En el caso de la 1 de la dimensión territorial, vea la función escalón unitario. El 3d caso es el de la derivada de primer orden de la función de paso. La 5d es el caso de 2º orden derivado del paso de la función y así sucesivamente.

El incluso dimensión de los casos son no-cero en el interior de la luz de cono debido a la 1/2 derivadas de orden.

El operador de la que deriva la d-dimensional propagador de la 1-dimensional propagador se deriva, en mi papel aquí: http://www.physics-quest.org/Higher_dimensional_EM_radiation.pdf en la sección V.

Answer 2

Utilizando la distribución de poisson representación de la función de bessel $J_n(z) = \frac{(z/2)^n}{\sqrt{\pi} \Gamma(n+1)} \int_0^{\pi} \cos{(z\cos{\theta})} \sin^{2n}{\theta} d\theta$, se puede determinar la constante..

En 3+1 d, por ejemplo, para un espacio-como la distancia, podemos hacer una transformación de lorentz tal que $r = x-y$ es puramente espacial, la amplitud es, a continuación, $D(x-y) \sim \int dp \frac{p}{\sqrt{p^2 +m^2}} e^{ipr} \sim \delta{(r)}$..(yo uso Peskin la notación de c.f, Cap.2.4, Eqn(2.52))