Mientras tanto, yo lo tengo.. :)
La igualdad
Por un lado:
$$\varphi\in\big(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\big)^\perp\iff\varphi\perp\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\iff\varphi\perp A_\lambda\quad(\forall\lambda\in\Lambda)$$
$$\varphi\perp A_\lambda\quad(\forall\lambda\in\Lambda)\iff\varphi\in A_\lambda^\perp\quad(\forall\lambda\in\Lambda)\iff\varphi\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda^\perp$$
Así se obtiene:
$$\overline{\left\langle\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda^\perp\right\rangle}=\overline{\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda^\perp}=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda^\perp=\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right)^\perp$$
La conclusión de la igualdad.
La inclusión
En el otro lado:
$$\varphi\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda^\perp\iff\varphi\in A_{\lambda_0}^\perp\quad(\exists\lambda_0\in\Lambda)\iff\varphi\perp A_{\lambda_0}\quad(\exists\lambda_0\in\Lambda)$$
$$\varphi\perp A_{\lambda_0}\quad(\exists\lambda_0\in\Lambda)\implies\varphi\perp\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\iff\varphi\in\big(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\big)^\perp$$
Así se obtiene:
$$\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda^\perp\subseteq\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right)^\perp\implies\overline{\left\langle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda^\perp\right\rangle}\subseteq\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right)^\perp$$
La conclusión de la inclusión.
El rigor
Respecto denso en el espacio:
$$\mathcal{S}<\mathcal{H}=\overline{\mathcal{S}}:\quad A:=\mathcal{S}\quad B:=\mathcal{S}^\complement$$
Tenga en cuenta que se tiene:
$$\mathcal{A}\subseteq\mathcal{H}:\quad\mathcal{A}^\perp\subseteq \mathcal{A}^\complement\cup(0)$$
A continuación, se obtiene:
$$\overline{\langle A^\perp\cup B^\perp\rangle}=B^\perp\subseteq\mathcal{S}\subsetneq\mathcal{H}=\varnothing^\perp=\left(A\cap B\right)^\perp$$
La conclusión de rigor.
