Hace $abab=baba$ implican conmutatividad en un Grupo de orden impar?

Question

Supongamos que $(G,\cdot)$ es un grupo finito de orden impar tal que $abab=baba$ para cualquier $a,b\in G$ . ¿Significa esto que $G$ es conmutativo?

Answer 1

Sí. Deja que $|G|=2k-1$ sea el orden del grupo y $a,b\in G$ . Entonces: $$ab=ab(ab)^{2k-1}=(ab)^{2k}=(abab)^k=(baba)^k=(ba)^{2k}=ba(ba)^{2k-1}=ba.$$

( Añadido: Probablemente debería mencionar que aquí utilizamos el siguiente hecho dos veces: si $G$ es un grupo finito de orden $n$ y $a\in G$ entonces $a^n=e$ , donde $e$ es el elemento de identidad).