Preguntas en la prueba de "Si el interruptor de dos filas de una matriz, a continuación,$\det(B) = - \det(A)$"

Question

La aplicación de una matriz cuadrada $A$ la fila de operación $R_i \leftrightarrow R_j, i \neq j$ (es decir, el intercambio de $i$-th y $j$-th filas), obtenemos una nueva matriz $B$. Demostrar que $\det(B) = - \det(A)$.

Esta es la prueba:

$$\det(B) = \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\sigma}a_{1\sigma(1)} \times \cdots \times a_{j\sigma(i)} \times \cdots a_{i\sigma(j)} \times \cdots \times a_{n \sigma(n)} $$ $$ = \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\sigma} a_{1 \sigma \tau(1)} \times \cdots \times a_{n \sigma \tau(n)}$$

donde $\pmatrix{i & j} = \tau$. Como $\sigma$ se ejecuta a través de $S_n$, $\mu = \sigma \tau$ también se ejecuta a través de $S_n$, por lo que tenemos

$$\sum (-1)^{\tau} a_{1 \mu(1)} \times \cdots \times a_{n \mu(n)} = \sum (-1)^{\tau} (-1)^{\mu} a_{1 \mu(1)} \times \cdots \times a_{n \mu(n)}$$

$\mu = \sigma \tau \implies \mu \tau = \sigma \tau^2 = \sigma \implies$

$$ = - \det(A).$$

Entiendo que la primera línea, eso es bastante recta hacia adelante. Empiezo a confundirse en la segunda línea:

• ¿Cómo funciona el $\tau$ afectan a como se hace y lo que no podemos considerar que el cambio en las filas ahora?
• En la tercera línea de ecuaciones, ¿por qué tenemos $-1$ a la potencia de $\tau$ pero todo lo demás es en términos de $\mu$ y, a continuación, después del signo igual, ¿por qué es un random $(-1)^{\mu}$ añadido y ¿entonces por qué tiene que implican $-\det(A)$?

Alguien puede responder a estas preguntas y explicar esta prueba para mí por favor?

Answer 1

Para la primera pregunta, tenga en cuenta que $\{\sigma:\sigma\in S_n\}=\{\sigma\tau:\sigma\in S_n\}$. Fórmula $\sum (-1)^{\tau} a_{1 \mu(1)} \times \cdots \times a_{n \mu(n)}$ si mal y corregido por $\sum (-1)^{\mu\tau} a_{1 \mu(1)} \times \cdots \times a_{n \mu(n)}$ debido a la sustitución de $\sigma=\mu\tau$. El signo de una permutación es un grupo homomorphism, que s $(-1)^{\mu\tau}=(-1)^\mu(-1)^\tau$. Por último, tenga en cuenta que $(-1)^\tau=-1$ porque $\tau$ es una permutación impar.

Answer 2

Otra prueba podría ser la siguiente. Usted sabe que el determinante se desvanece cuando dos filas son iguales. Así

$$\begin{align}0&=\det(R_1\mid \cdots \mid R_i+ R_j\mid \cdots\mid R_i+ R_j\mid \cdots \mid R_n)\\{}\\&= \det(R_1\mid \cdots \mid R_i+ R_j\mid \cdots\mid R_j\mid \cdots \mid R_n)\\&+\det(R_1\mid \cdots \mid R_i+ R_j\mid \cdots\mid R_i\mid \cdots \mid R_b)\\{}\\&= \det(R_1\mid \cdots \mid R_j\mid \cdots\mid R_j\mid \cdots \mid R_n)\\&+\det(R_1\mid \cdots \mid R_j\mid \cdots\mid R_i\mid \cdots \mid R_n)\\&+\det(R_1\mid \cdots \mid R_i\mid \cdots\mid R_i\mid \cdots \mid R_n)\\&+\det(R_1\mid \cdots \mid R_i\mid \cdots\mid R_j\mid \cdots \mid R_n)\end{align}$$

En el anterior hemos utilizado el factor determinante es la fila lineal de un par de veces. Ahora eliminamos los factores determinantes de las dos matrices que tienen la igualdad de filas, así que nos quedamos con

$$\begin{align}0&=\det(R_1\mid \cdots \mid R_j\mid \cdots\mid R_i\mid \cdots \mid R_n)\\&+\det(R_1\mid \cdots \mid R_i\mid \cdots\mid R_j\mid \cdots \mid R_n)\end{align}$$

que es, precisamente, diciendo que

$$\det(R_1\mid \cdots \mid R_j\mid \cdots\mid R_i\mid \cdots \mid R_n)=-\det(R_1\mid \cdots \mid R_i\mid \cdots\mid R_j\mid \cdots \mid R_n)$$