$A^{2016}-2A^{3016}+A=0$

Question

Estoy aprendiendo álgebra lineal y necesita ayuda con el siguiente problema:

Deje $A = \begin{pmatrix}-2 & 4 & 3\\0 & 0 & 0\\-1 & 5 & 2\end{pmatrix} \in M_{3x3}(\mathbb{R})$. Mostrar que $A^{2016}-2A^{3016}+A=0$.

Supongo que esta es una aplicación directa de la Cayley-Hamilton teorema que establece que toda matriz satisface su propia ecuación característica. El polinomio característico de a $A$ $p_{A}(\lambda) = \lambda - \lambda^{3}$ (me he saltado el fácil cálculo del determinante, para ahorrarme algo de tiempo). Por lo tanto, por el de Cayley-Hamilton teorema $$A - A^{3} = 0 \tag{*}$$

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¿Cómo debo hacer uso de $(*)$ y continuar a partir de aquí para probar la identidad? Pensé que podía escribir $(*)$ $A = A^{3}$ y, a continuación, debidamente multiplicar ambos lados de la igualdad, pero me quedé atrapado. También estoy interesado en saber si hay otros métodos para solucionar este problema.

EDIT: Como A. G. demostrado, la identidad no es cierto. Sería cierto extraños poderes, por ejemplo,$A^{2017}-2A^{3017}+A=0$. Este es un lamentable error tipográfico a partir de mis notas del profesor. Pido disculpas a los usuarios que dio respuestas antes de esta edición.

Answer 1

Sí, usted es totalmente correcto hasta ahora. Y han esperado el derecho de las ecuaciones. Se puede proceder de la siguiente manera:

$$A=A^3 \implies A\cdot A=A^3\cdot A \implies A^2=A^4 $$ Del mismo modo, $$A^2=A^4 \implies A^2\cdot A^2=A^4\cdot A^2 \implies A^4=A^6=A^2$$

Así, podemos matemáticamente inducir $$A^2=A^4=A^6= \ldots = A^{2n} \,\,\,\,\, \text{for any n} \in \mathbb{Z^+}$$

Por lo tanto $A^{2016}=A^{3016}=\color{red}{A^2}$

Tampoco simplifica nada?

Answer 2

Otro método para resolver el problema.

La identidad de $A$ es equivalente a la identidad de la Jordan en la forma, que es la diagonal en nuestro caso (distintos autovalores $\pm 1$$0$) $$ J=\pmatrix{1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0}. $$ Ahora $$ J^{2016}-2J^{3016}+J=\pmatrix{1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0}-2\pmatrix{1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0}+\pmatrix{1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0}=\pmatrix{0 & 0 & 0\\0 & -2 & 0\\0 & 0 & 0}. $$ Así, la identidad no es cierto. Sería cierto extraños poderes, por ejemplo.

Answer 3

$A-A^3= 0$ hace, de hecho, implican $A^3 = A$. Esto significa que $$ A^{2016} = A^3A^{2013} = AA^{2013} = A^{2014} $$ Ahora seguir adelante (no realmente tiene que hacer esto de forma explícita las mil y seis veces más, sólo observa el patrón y la nota donde termina), y la ecuación finalmente, deben ser mucho más simplificado.