Límite exponencial $ \lim_ {n \to\infty }(1 + \frac {3}{n})^n

Question

¿Qué es? $\lim_{n\rightarrow\infty}(1 + \frac{3}{n})^n$ ?

Estoy un poco confundido con este límite. El $\frac{3}{n}$ se reduce a medida que $n$ se hace más grande, por lo que realmente sólo saldría a $1^n$ ¿verdad?

Answer 1

Sugerencia : $$\lim_{n\to \infty} \left(1 + \frac 1n\right)^n = e\tag{1}$$

Intenta escribir $\dfrac{3}{n} = \dfrac{1}{n/3}$ por lo que el exponente $n = 3\cdot\dfrac n3$ :

$$\lim_{n\to \infty} \left(1 + \frac 1{(n/3)}\right)^{3(n/3)}$$

Poniendo $m = \frac n3$ se parece mucho a $(1)$ :

$$\lim_{m\to \infty} \left(1 + \frac 1{m}\right)^{3m}$$

$$\lim_{n\to \infty} \left(1 + \frac 1{(n/3)}\right)^{3(n/3)}=\lim_{m\to \infty} \left(1 + \frac 1{m}\right)^{3m}= e^3$$

Answer 2

En primer lugar, hay que ver por qué falla su observación. En primer lugar, el exponente también va a $\infty$ Así que no puedes olvidarte de ello. Sería como decir $$1=\lim \frac{n}{n}=\lim n\frac 1n =\lim n\cdot 0=\lim 0=0$$ ¿Ves?

Por ejemplo, estamos de acuerdo en que tanto $n^{-2}$ y $(\log n)^{-1}$ se hacen pequeños cuando $n\to\infty$ Sin embargo

$$\lim \left(1+\frac{1}{\log n}\right)^n\to\infty $$

mientras que

$$\lim \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n\to 1$$

Todo esto tiene un poco que ver con el hecho de que $$\lim_{n\to \infty} \left(1 + \frac 1n\right)^n = e$$

Si no ha oído hablar de $e$ antes, leer un poco sobre el tema. Resulta que $e\approx 2.718281828459045\dots$ . En su caso, el límite resulta estar relacionado con $e$ ya que $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{3}{n}} \right)^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{3}{n}} \right)^{\frac{n}{3}3}} = \cdots$$

$${\left[ {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{\left( {1 + \frac{3}{n}} \right)}^{\frac{n}{3}}}} \right]^3} = {e^3}$$