Como está escrito ahora mismo, la afirmación es falsa. De hecho, $f=X$ es una irreductible monic polinomio con coeficientes enteros y cuyas raíces se encuentran en la unidad de disco. Sin embargo, no es un cyclotomic polinomio. El resultado va a mantener si se asume que el $0$ no es una raíz del polinomio dado! Tenga en cuenta que estoy siendo exigente, este es el único contraejemplo. De hecho, se tiene:
Teorema. Un irreductible monic polinomio con coeficientes enteros es $X$ o un cyclotomic polinomio.
Respecto a tu pregunta, aviso que para $\ell\in\{0,\cdots,r\}$, el coeficiente de $X^{r-\ell}$$f_n$: $$(-1)^\ell\sigma_{\ell}({\alpha_1}^n,\ldots,{\alpha_r}^n),$$
donde $\sigma_{\ell}$ $\ell$- th primaria polinomio simétrico. Furtheremore, aviso que $\sigma_{\ell}({X_1}^n,\ldots,{X_r}^n)$ es un polinomio simétrico y por lo tanto no existe $S_{\ell}\in\mathbb{Z}[X_1,\cdots,X_n]$ tal forma que:
$$\sigma_{\ell}({X_1}^n,\ldots,{X_r}^n)=S_\ell(\sigma_1(X_1,\ldots,X_r),\ldots,\sigma_r(X_1,\ldots,X_r)).$$
En particular, se tiene:
$$\sigma_{\ell}({\alpha_1}^n,\ldots,{\alpha_r}^n)=S_\ell(\sigma_1(\alpha_1,\ldots,\alpha_r),\ldots,\sigma_r(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)).$$
Sin embargo, para todos los $k\in\{0,\cdots,r\}$, $\sigma_k(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)$ es en sí mismo un entero como es el coeficiente de $X^{n-k}$ $f\in\mathbb{Z}[X]$ multiplicar por $(-1)^r$. De dónde el resultado, ya que $\mathbb{Z}$ es cerrado bajo la suma y la multiplicación.
El resultado que usted está tratando de demostrar que es una consecuencia de:
Teorema. (Kronecker) Deje $f$ ser un monic polinomio con coeficientes enteros cuyas raíces complejas son cero y la mentira en la unidad de disco, entonces las raíces de la $f$ son raíces de la unidad.
Observación. El punto clave es que si $A$ es un anillo conmutativo con una de las unidades, a continuación, $A[X_1,\cdots,X_n]^{S_n}$ es un finitely generadas $A$-módulo. Por otra parte, la primaria simétrica polinomios generadores: $$\sum_{\substack{I\subseteq\{0,\cdots,n\}\\|I|=k}}\prod_{i\in I}X_i$$
