Convergencia de $\prod\limits_{n=0}^\infty ( 1+u_{n}) $ cuando $\sum\limits_{n=0}^{\infty }u_{n}$ y $\sum \limits_{n=0}^\infty u_{n}^{2}$ divergir

Question

Estoy tratando de demostrar que si $u_{0}=u_{1}=u_{2}=0$ y si, cuando $n>1$ , $$u_{2n-1}=\dfrac {-1} {\sqrt {n}}, u_{2n}=\dfrac {1} {\sqrt {n}}+\dfrac {1} {n}+\dfrac {1} {n\sqrt {n}}$$ entonces $\prod \limits_{n=0}^{\infty }\left( 1+u_{n}\right) $ converge.

Observamos que $\sum \limits_{n=0}^{\infty }u_{n}$ y $\sum \limits_{n=0}^{\infty }u_{n}^{2}$ son divergentes por la prueba de proporción. No estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí. Cualquier ayuda sería muy apreciada. ¿Podríamos argumentar, posiblemente, ya que $\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}=0$ por eso $\prod \limits_{n=0}^{\infty }\left( 1+u_{n}\right) $ ¿converge?

Answer 1

Combine los términos para obtener

$$\prod_{n=2}^N \left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n\sqrt{n}}\right)=\prod_{n=2}^N \left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{N+1}{2N}\to\frac{1}{2}.$$

También ver aquí .

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Debo añadir que no, $\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0\;$ no establece por sí sola la convergencia. Considere

$$\prod_{n=1}^N\left(1+\frac{1}{n}\right)>\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}\to\infty \quad \text{yet}\quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.$$

Alguna forma de prueba alternante funcionaría, pero en mi opinión es exagerado desde el punto de vista computacional.