Suavidad sobre un campo y la regularidad

Question

Hartshorne, La Geometría Algebraica

En el ejemplo III.10.0.3, Hartshorne comentarios que con k algebraicamente cerrado, X liso de dimensión n sobre Spec k es equivalente a X regular de dimensión n. Él referencias II.8.8.

Sin embargo.II.8.8 requiere que cuando uno mira a un anillo local B, la relativa gavilla de los diferenciales de este anillo local debe ser un libre B-módulo. Esto es cierto si X es irreducible. Pero lo que si X no es irreducible?

Así que mi pregunta general: es la declaración de la III.10.0.3 verdadera para X no es irreducible?

Answer 1

Después de luchar con las definiciones, tengo la respuesta a mi pregunta. Si dos irreductible componentes se unen en un punto, a continuación, $\dim_{k}(\Omega_{X/k} \otimes k)$ va a saltar, contradiciendo la definición de fluido.

Así, mientras que $X$ puede tener múltiples irreductible componentes, cada componente conectado, es irreductible. Desde II.8.8 es una propiedad local, que lo podemos utilizar en cada componente irreducible de $X$.